Question

10．兩顆離得很近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須以一定角速度繞某一中心轉(zhuǎn)動，才不至于由于萬行引力作用而吸引在一起．已知質(zhì)量分別為m₁、m₂，相互之間的距離為L，試求出：
（1）這兩顆星轉(zhuǎn)動中心的位置距m₁的距離；
（2）這兩顆星的轉(zhuǎn)動周期．

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，周期相同，向心力大小相等，結(jié)合萬有引力提供向心力求出這兩顆星轉(zhuǎn)動中心的位置距m₁的距離以及周期的大�。�

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（L-{r}_{1}）$，
則有：m₁r₁=m₂（L-r₁）．
解得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$．
（2）根據(jù)$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（L-{r}_{1}）$，
代入r₁，聯(lián)立解得T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：（1）這兩顆星轉(zhuǎn)動中心的位置距m₁的距離為$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$；
（2）這兩顆星的轉(zhuǎn)動周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點評 這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點來解題的思路．雙星特點：1．繞同一中心轉(zhuǎn)動的角速度和周期相同．2．由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力相同．