Question

10．滑板運(yùn)動(dòng)是一種陸地上的“沖浪運(yùn)動(dòng)”，滑板運(yùn)動(dòng)員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動(dòng)作，給人以美的享受．如圖是模擬的滑板組合滑行軌道，該軌道由足夠長(zhǎng)的斜直軌道、半徑R₁=1m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=1.6m的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內(nèi)且依次平滑連接，其中M點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，N點(diǎn)為凸形圓弧軌道的最高點(diǎn)，凸形圓弧軌道的圓心O點(diǎn)與M點(diǎn)處在同一水平面上，一質(zhì)量為m=1kg可看作質(zhì)點(diǎn)的滑板，從斜直軌道上的P點(diǎn)無初速滑下，經(jīng)過M點(diǎn)滑向N點(diǎn)，P點(diǎn)距M點(diǎn)所在水平面的高度h=1.8m，不計(jì)一切阻力，g取10m/s²．
（1）滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度多大？
（2）滑板滑到N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？
（3）改變滑板無初速下滑時(shí)距M點(diǎn)所在平面的高度h，用壓力傳感器測(cè)出滑板滑至N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為零，則P與N在豎直方向的距離多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小車從P到M過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）由機(jī)械能守恒求出N點(diǎn)的速度．在N點(diǎn)，小車受到的重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（3）滑板滑至N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為零，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求滑板到達(dá)N點(diǎn)的速度．對(duì)從P到N過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求P與N在豎直方向的距離．

解答 解：（1）以地面為參考平面，對(duì)滑板從P到M過程，由機(jī)械能守恒定律，得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$
解得：v_M=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.8}$=6m/s
即滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度為6m/s．
（2）滑板從P到N的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（h-R₂）=$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$
滑板在N點(diǎn)時(shí)，由重力和支持力的合力提供向心力，有：
mg-F_N=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：F_N=7.5N
根據(jù)牛頓第三定律可知，滑板滑到N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7.5N．
（3）滑板滑至N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為零，由上分析知：F_N=0
在N點(diǎn)，由重力提供向心力，由向心力公式和牛頓第二定律，得到：mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
對(duì)從P到N過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，得到：mg（h′-R₂）=$\frac{1}{2}$mv²
解得：h′=2.4m
答：（1）滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度是6m/s．
（2）滑板滑到N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7.5N．
（3）P與N在豎直方向的距離是2.4m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵抓住兩個(gè)規(guī)律：一是機(jī)械能守恒定律．二、牛頓第二定律．對(duì)從P到M或P到N過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，在N點(diǎn)或M點(diǎn)，關(guān)鍵要分析向心力的來源．