Question

7．如圖所示，半徑為R 的半球固定在水平面上，有一質(zhì)量為m 的小球靜止在半球面的頂端，受到擾動后，無初速度沿此光滑半球面滑下，重力加速度為g．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球離開半球面之前，速率變化越來越快
• B． 小球與半球面分離時，小球離地面高度為$\frac{2}{3}$R
• C． 小球落地時速度大小為$\sqrt{2gR}$
• D． 小球落地時重力的功率為mg$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求得沿切線方向的加速度大小，小球運(yùn)動過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解落地速度；小球沿著光滑半球運(yùn)動過程中，受重力和支持力，合力沿著半徑方向的分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和動能定理分別列式，恰好離開半球時，彈力為零．

解答 解：A、對小球受力分析，沿圓弧切線方向的加速度a=$\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$，其中θ為半徑與豎直方向的夾角，θ逐漸增大，故加速度逐漸增大，故速率變化越來越快，故A正確；
B、設(shè)小球下滑到B點，與豎直夾角為θ 時，剛好離開半球面，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$mgcosθ-{N}_{B}=\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
根據(jù)動能定理，有：
 $mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
當(dāng) N_B=0時，得：cosθ=$\frac{2}{3}$
落地時的高度h=Rcos$θ=\frac{2}{3}R$，故B正確
C、小球從A點下落到達(dá)地面的過程中，由機(jī)械能守恒定律，有：$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$v=\sqrt{2gR}$，故C正確
D、落地時速度并不是豎直向下，故P=mg${v}_{y}＜mg\sqrt{2gR}$，故D錯誤
故選：ABC

點評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動情況，關(guān)鍵是找到向心力來源，結(jié)合機(jī)械能守恒定律、動能定理和牛頓第二定律列式求解，不難．