Question

18．某星際探測(cè)是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題．如圖9所示，某探測(cè)器從空間的O點(diǎn)沿直線(xiàn)ON從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，三個(gè)月后與地球相遇于P點(diǎn)，再經(jīng)二個(gè)月與地球相遇于Q點(diǎn)，已知萬(wàn)有引力常量G，地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，試導(dǎo)出估算太陽(yáng)質(zhì)量的關(guān)系式（用上述物理量表達(dá)）？

Answer 1

分析 地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉(zhuǎn)周期與半徑的關(guān)系式；
對(duì)于探測(cè)衛(wèi)星從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關(guān)系．由幾何知識(shí)得到：PQ對(duì)應(yīng)的圓心角，得到地球公轉(zhuǎn)半徑與PQ的關(guān)系，即可聯(lián)立求得太陽(yáng)的質(zhì)量

解答 解：對(duì)地球太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
  $\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
對(duì)探測(cè)器 PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}a{（\frac{5T}{12}）^2}-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}=\frac{1}{18}a{T^2}$
二個(gè)月時(shí)間為地球公轉(zhuǎn)周期的$\frac{1}{6}$即為$\frac{1}{6}T$，則θ=60⁰，由幾何關(guān)系得r=PQ 
聯(lián)立以上各式得$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$
答：太陽(yáng)質(zhì)量的關(guān)系式為：$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力與勻變速運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵找出地球與探測(cè)器之間的時(shí)間關(guān)系，運(yùn)用幾何知識(shí)得到PQ與r的關(guān)系．