Question

8．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）a=2$\sqrt{5}$，過點(diǎn)A（-5，2），焦點(diǎn)在x軸上；
（2）b=1，焦點(diǎn)為（0，±$\sqrt{10}$）：
（3）一個(gè)焦點(diǎn)為（-5，0），且離心率為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），代入A的坐標(biāo)，解方程可得b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得c=$\sqrt{10}$，b=1，由a，b，c的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（3）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），運(yùn)用離心率公式及a，b，c的關(guān)系，計(jì)算即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得$\frac{25}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，又a=2$\sqrt{5}$，
解得b=4，
即有雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{10}$，b=1，
可得a=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3，
即有雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-x²=1；
（3）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得c=5，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
解得a=4，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，點(diǎn)滿足方程和離心率公式，及基本量的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．