1.已知,那么角是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
2.函數(shù)的反函數(shù)的定義域為( )
A. B. C. D.
3.平面平面的一個充分條件是( )
A.存在一條直線
B.存在一條直線
C.存在兩條平行直線
D.存在兩條異面直線
4.已知是所在平面內(nèi)一點,為邊中點,且,那么( )
A. B.
C. D.
5.記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有( )
A.1440種 B.960種 C.720種 D.480種
6.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.或
7.如果正數(shù)滿足,那么( )
A.,且等號成立時的取值唯一
B.,且等號成立時的取值唯一
C.,且等號成立時的取值不唯一
D.,且等號成立時的取值不唯一
8.對于函數(shù)①,②,③,判斷如下三個命題的真假:
命題甲:是偶函數(shù);
命題乙:在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
命題丙:在上是增函數(shù).
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是( )
A.①③ B.①② C.③ D.②
數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)
第II卷(共110分)
9. .
10.若數(shù)列的前項和,則此數(shù)列的通項公式為 ;數(shù)列中數(shù)值最小的項是第 項.
11.在中,若,,,則 .
12.已知集合,.若,則實數(shù)的取值范圍是 .
13.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會,會標是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,那么的值等于 .
14.已知函數(shù),分別由下表給出
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
3 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
則的值為 ;滿足的的值是 .
15.(本小題共13分)
數(shù)列中,,(是常數(shù),),且成公比不為的等比數(shù)列.
(I)求的值;
(II)求的通項公式.
16.(本小題共14分)
如圖,在中,,斜邊.可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角是直二面角.動點的斜邊上.
(I)求證:平面平面;
(II)當為的中點時,求異面直線與所成角的大??;
(III)求與平面所成角的最大值.
17.(本小題共14分)
矩形的兩條對角線相交于點,邊所在直線的方程為,點在邊所在直線上.
(I)求邊所在直線的方程;
(II)求矩形外接圓的方程;
(III)若動圓過點,且與矩形的外接圓外切,求動圓的圓心的軌跡方程.
18.(本小題共13分)
某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動(以下簡稱活動).該校合唱團共有100名學(xué)生,他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.
(I)求合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù);
(II)從合唱團中任意選兩名學(xué)生,求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率.
(III)從合唱團中任選兩名學(xué)生,用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題共13分)
如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長為,短半軸長為,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底是半橢圓的短軸,上底的端點在橢圓上,記,梯形面積為.
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域;
(II)求面積的最大值.
20.已知集合,其中,由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合:
,.
其中是有序數(shù)對,集合和中的元素個數(shù)分別為和.
若對于任意的,總有,則稱集合具有性質(zhì).
(I)檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合,寫出相應(yīng)的集合和;
(II)對任何具有性質(zhì)的集合,證明:;
(III)判斷和的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)
1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D
7.A 8.D
9. 10. 11. 12.
13. 14.
15.(共13分)
解:(I),,,
因為,,成等比數(shù)列,
所以,
解得或.
當時,,不符合題意舍去,故.
(II)當時,由于
,
,
,
所以.
又,,故.
當時,上式也成立,
所以.
16.(共14分)
解法一:
(I)由題意,,,
是二面角是直二面角,
又二面角是直二面角,
,又,
平面,
又平面.
平面平面.
(II)作,垂足為,連結(jié)(如圖),則,
是異面直線與所成的角.
在中,,,
.
又.
在中,.
異面直線與所成角的大小為.
(III)由(I)知,平面,
是與平面所成的角,且.
當最小時,最大,
這時,,垂足為,,,
與平面所成角的最大值為.
解法二:
(I)同解法一.
(II)建立空間直角坐標系,如圖,則,,,,
,,
.
異面直線與所成角的大小為.
(III)同解法一
17.(共14分)
解:(I)因為邊所在直線的方程為,且與垂直,所以直線的斜率為.
又因為點在直線上,
所以邊所在直線的方程為.
.
(II)由解得點的坐標為,
因為矩形兩條對角線的交點為.
所以為矩形外接圓的圓心.
又.
從而矩形外接圓的方程為.
(III)因為動圓過點,所以是該圓的半徑,又因為動圓與圓外切,
所以,
即.
故點的軌跡是以為焦點,實軸長為的雙曲線的左支.
因為實半軸長,半焦距.
所以虛半軸長.
從而動圓的圓心的軌跡方程為.
18.(共13分)
解:由圖可知,參加活動1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40.
(I)該合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為.
(II)從合唱團中任選兩名學(xué)生,他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為.
(III)從合唱團中任選兩名學(xué)生,記“這兩人中一人參加1次活動,另一人參加2次活動”為事件,“這兩人中一人參加2次活動,另一人參加3次活動”為事件,“這兩人中一人參加1次活動,另一人參加3次活動”為事件.易知
;
;
的分布列:
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
的數(shù)學(xué)期望:.
19.(共13分)
解:(I)依題意,以的中點為原點建立直角坐標系(如圖),則點的橫坐標為.
點的縱坐標滿足方程,
解得
,
其定義域為.
(II)記,
則.
令,得.
因為當時,;當時,,所以是的最大值.
因此,當時,也取得最大值,最大值為.
即梯形面積的最大值為.
20.(共13分)
(I)解:集合不具有性質(zhì).
集合具有性質(zhì),其相應(yīng)的集合和是,
.
(II)證明:首先,由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個.
因為,所以;
又因為當時,時,,所以當時,.
從而,集合中元素的個數(shù)最多為,
即.
(III)解:,證明如下:
(1)對于,根據(jù)定義,,,且,從而.
如果與是的不同元素,那么與中至少有一個不成立,從而與中也至少有一個不成立.
故與也是的不同元素.
可見,中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù),即,
(2)對于,根據(jù)定義,,,且,從而.如果與是的不同元素,那么與中至少有一個不成立,從而與中也不至少有一個不成立,
故與也是的不同元素.
可見,中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù),即,
由(1)(2)可知,.