1.橢圓(a>b>0)的左焦點F到過頂點A(-a, 0), B(0,b)的直線的距離等于,則橢圓的離心率為( ).
A、 B、 C、 D、
分析:本題條件不易用平面幾何知識轉(zhuǎn)化,因而過A、B的方程為,左焦點F(-c,0),則,化簡,得5a2-14ac+8c2=0 得或(舍), ∴ 選A.
小結(jié):應(yīng)熟悉各方程的標(biāo)準形式及各參數(shù)之間的關(guān)系和幾何意義.若題面改為“雙曲線(a>b>0)”,則由“a>b>0”這個隱含條件可知離心率e的范圍限制,即a>b>0,∴ a2>b2, ∴a2>c2-a2 從而.
2.若雙曲線的漸近線方程為,則其離心率為( ).
A、 B、 C、 D、
分析:當(dāng)雙曲線方程為時,其漸近線為,當(dāng)雙曲線方程為時,其漸近線為,從而本題對應(yīng) 或,選D.
3.若表示焦點在y軸上的雙曲線,則它的半焦距的取值范圍是( ).
A、(1,+¥) B、(0,1) C、(1,2) D、與k有關(guān)
分析:首先應(yīng)把方程標(biāo)準化,方程可化為:
∴ , ∴ k>2 c2=a2+b2=k-1+k-2=2k-3>2×2-3=1∴ c>1,選A.
4.拋物線y2-2by+b2+4m-mx=0的準線與雙曲線的右準線重合,則m的值為______.
分析:首先將方程化為標(biāo)準方程(y-b)2=m(x-4)
而雙曲線的右準線為x=3, 拋物線頂點(4,b)在x=3的右側(cè),
∴ 拋物線開口向右,m>0, 2p=m,∴ 焦準距(焦參數(shù)),∴m=4.
5.以3x-4y-2=0, 3x+4y-10=0為漸近線,以5y+4=0為一條準線的雙曲線方程為_____.
分析:注意兩條漸近線的交點,或一條漸近線和一條對稱軸的交點都是雙曲線的中心.
,中心為(2,1),從而準線為下準線,焦點在平行于y軸的直線上,從而,中心與準線相矩……①,漸近線斜率為……②
聯(lián)立①②,得a=3, b=4, c=5.方程為.
6.若橢圓(a>b>0)與圓相交,則橢圓的離心率的取值范圍為_______.
分析:圓錐曲線間的位置關(guān)系不能用聯(lián)立方程,用判別式判定,一般來說應(yīng)結(jié)合圖形分析.
由圖可知圓半徑r滿足 b<r<a,
∴ , 解得.
7.若雙曲線與圓x2+y2=1無公共點則k∈______.分析:同上題用數(shù)形結(jié)合的方法知或.
1.雙曲線的虛軸長為4,離心率,F(xiàn)1、F2分別是它的左,右焦點,若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項,則|AB|為( ).
A、 B、 C、 D、8
分析:利用雙曲線定義, ∵ AB在左支上,∴|AF2|-|AF1|=2a, |BF2|-|BF1|=2a ∴ |AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a, 又∵ 2|AB|=|AF2|+|BF2|, |AF1|+|BF1|=|AB|
∴ 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而 得, ∴ ,選A.
2.設(shè)F1、F2為橢圓兩焦點,點P是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓與橢圓的一個交點,若∠PF1F2=5∠PF2F1,則橢圓離心率為( ).
A、 B、 C、 D、
分析:P在以F1F2為直徑的圓上,則∠F1PF2=90°,
而∠PF1F2=5PF2F1,∴ ∠PF1F2=75°, ∠PF2F1=15°,∴ ,
,而|PF2|+|PF2|=2a,∴ .
3.F1、F2為橢圓兩個焦點,Q為橢圓上任一點,以任一焦點作∠F1QF2的外角平分線的垂線,垂足為P,則P點軌跡為( ).
A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線
分析:延長F2P交F1Q的延長線為M,由橢圓定義及角平分線,
∵ ∴ |F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,則點M(x0,y0)的軌跡方程為......① 設(shè)P點坐標(biāo)(x, y), ∵ P為F2M中點,
∴ ,代入①,得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a2, ∴ x2+y2=a2, 選A.
4.雙曲線的左支上一點P,⊙O'為ΔPF1F2的內(nèi)切圓,則圓心O'的橫坐標(biāo)為( ).
A、a B、-a C、 D、
分析:設(shè)PF1,PF2,F(xiàn)1F2與內(nèi)切圓⊙O'的切點分別為M,N,Q,由雙曲線定義,
∵ |PF2|-|PF1|=2a, ∴ |PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a,
而 |DN|=|PM| ,|MF1|=|QF1|, |NF2|=|QF2| ∴ |QF2|-|QF1|=2a 又 |QF2|+|QF1|=2c,∴ |QF2|=a+c=c-xQ, ∴ xQ=-a, ∵O'Q⊥F1F2, ∴xQ'=xQ=-a, 選B.
1.待定系數(shù)法
例:已知橢圓D:與圓:x2+(y-m)2=9(m∈R),雙曲線G與橢圓D有相同焦點,它的兩條漸近線恰好與圓M相切.1)當(dāng)m=5時,求雙曲線G的方程.
2)當(dāng)m取何值時,雙曲線的兩條準線間的距離為1.
解:1)橢圓D的兩個焦點F1(-5,0),F2(5,0),因而雙曲線中心在原點,焦點在x軸上,且c=5.
設(shè)雙曲線G的方程為∴ 漸近線為bx±ay=0且a2+b2=25,
m=5時,圓心M(0,5), r=3.∴ , 得 a=3, b=4, ∴G方程為.
2)雙曲線兩準線間距離為, ∴ ,
∵ G的漸近線與M相切, ∴ ,∴ .
2.相關(guān)點求軌跡法(代入法)
例:設(shè)拋物線過定點A(0,2),且以x軸為準線求拋物線頂點M的軌跡C的方程.
分析:A(0,2)在拋物線上,體現(xiàn)為
①A(0,2)的坐標(biāo)滿足曲線方程
②A(0,2)滿足曲線定義
在本題中以方式②為佳,設(shè)M(x, y),焦點F(x0, y0),
∵ |AF|=,∴ , ∴ ......①
而, ∴ 代入① ∴ x2+(2y-2)2=4, 且 y≠0.
3.直接法(直接到方程化簡)
例:設(shè)點O為原點,點M在直線l: x=-p(p>0)上移動,動點N在線段MO的延長線上,且滿足|MN|=|MO|.|NO|. 求動點N的軌跡方程.
解:設(shè)N坐標(biāo)為(x, y),過N作NN'⊥x軸于N',
∵ M,O,N共線,
∴ , 由已知 |MN|=|MO|.|NO|
∴
∴ 所求方程為(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)
4.直接法(直接利用曲線定義)
例:如圖,直線l1, l2相交于M,l1⊥l2,點N∈l1, 以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等,若ΔAMN為銳角Δ,, |AN|=3,|BN|=6,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線段C的方程.
分析:以l1為x軸,以MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如圖.
由題意,曲線段C是以N為焦點,以l2為準線的拋物線的一部分,
其中A、B分別為C的端點.
由已知條件,可求方程為y2=8x(1≤x≤4, y>0)(過程略)
5.交軌法
例:拋物線y2=2px(p>0),O為坐標(biāo)原點,A、B在拋物線上,且OA⊥OB,過O作OP⊥AB交AB于P,求P點軌跡方程.
解:設(shè)OA=y=kx, 則,
得 同理 B(2pk2, -2pk)
AB:
....①
而op: .....②
∵ P為AB與OP的交點,聯(lián)立①② (1)×(2)消去k,
y2=-(x-2p)x, ∴ x2+y2-2px=0(x≠0)即為所求.
1.過點(2,4)作直線與拋物線y2=8x只有一個公共點,這樣的直線有( ).
A、一條 B、兩條 C、三條 D、四條
分析:首先注意點(2,4)在拋物線上,其次只有一個公共點,包括直線平行于拋物線的對稱軸,與拋物線交于一點,因而選B.
2.直線y:kx+1與橢圓恒有公共點,則m的取值范圍是( ).
A、m≥1且m≠5 B、m≥1 C、m≠5 D、m≤5
分析:直線與橢圓恒有公共點Û聯(lián)立方程Δ恒大于等于0,
由Δ≥0恒成立可得 m≥1-5k2恒成立,∴ m≥(1-5k2)max, ∴m≥1且m≠5,選A.
3.直線l: 與曲線x2-y2=1(x>0)相交于A,B兩點,則直線l的傾角為( ).
A、[0,) B、 C、 D、
分析:直線與雙曲線右支交于兩點,不能僅僅用Δ判定,
x2-k2(x2-x+2)=1 (1-k2)x2+k2x-2k2-1=0
∴ ∴ k>1 或 k<-1. ∴ 傾角,選B.
4.在拋物線y2=4x上恒有兩點關(guān)于y=kx+3對稱,求k范圍.
解:設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對稱,則BC方程為x=-ky+m,代入 y2=4x 得 y2+4ky-4m=0 設(shè)B(x, y), C(x2, y2), BC中點M(x0, y0), ∴ , x0=2k2+m,∵ M(x0, y0)在l上,∴ -2k=k(2k2+m)+3 ∴ , 又BC與拋物線交于兩點,∴Δ=16k2+16m>0, 即, 解得-1<k<0.