如右圖所示，a、b是兩異面直線，是　　　 a　　　 E　　 a和b 的法向量，點E∈a，F(xiàn)∈b，則　　　　　 異面直線 a與b之間的距離是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 b　 F 例1、如下圖，正四棱錐S-ABCD的高SO=2，底邊長，求異面直線BD和SC之間的距離. 分析：建立如圖所示的直角坐標系，則 ，， ，，.， .令向量，且，則，，，，.異面直線BD和SC之間的距離為： . 例2、如下圖，正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AA1，BB1的中點， 求(1)CM與D1N的余弦值； (2)異面直線CM與D1N的距離。(2004年廣州調(diào)研試題) 分析(2)：建立如圖所示右手直角坐標系，則C(0,2,0)、D1(0，0，2)、M(2，0，1)、N(2，2，1) ，　　　　 D1　　　　 C1 設法向量　A1　　　 　　　　　B1 則　　　 2x-2y+z=0　　　　 x=0　　 M　 D　　　　 N　 C 2x+2y-z=0　　　 z=2y　　 A　　　　　　　 B 令y=1得，依公式得異面直線CM與D1N的距離是

如右圖所示，已知AB是平面α的　　　　 一條斜線，為平面α的法向量，則　　　　　　　　 C　 B A到平面α的距離為　　　　 α　 例3、已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。 分析：建立如圖所示右手直角坐標系，　　　　　　　　　　　　　 G 則E(4，-2，0)，F(xiàn)(2，-4，0)，　　　　　　　　 E　 D　 　　　　C G(0，0，2)，B(4，0，0)，　　　　　　　　 A　　 F　　 B =(0，-2，0)，=(-4，2，2)，=(-2，4，2)，設平面EFG的法向量=(x,y,z)，則由，得 　　　 -4x+2y+2z=0　　　　　 x= 　　 -2x+4y+2z=0　　　　 y=　 不妨設z=3，則=(1，-1，3),所以依公式可得所求距離為

首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題。 例4、已知邊長為的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點，PA⊥面ABC，且PA=2，設平面α過PF且與AE平行，求AE與平面α間的距離。 分析：因為AE∥平面α，所以將AE與平面α的距離轉(zhuǎn)化成點A到平面α的距離，建立如圖右手直角坐標系，　 　則A(0，0，0)，P(0，0，2)，　　　　　 E(，0，0)，F(xiàn)(，，0)，　　　　　　　 P ,,　　　　　　　 A　　 F ,設法向量=(x,y,z)，　 B　 E　　　　 C 則由，得， 　 　　　　　　　　　x=0 　　　　　　 不妨設防z=1，則=(0，，1),所以依公式可得所求距離為

如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量與，則平 面α與β所成的角跟法向量與　　　 α　 所成的角相等或互補，所以首先　　　　 　　β 必須判斷二面角是銳角還是鈍角。　　　　　　　 例6、如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。 分析：依題意，先過C點CE⊥AD，計算得ED=2a，BC=AE=a,建立如圖右角直角坐標系，則P(0，0，a),D(0,3a,0)，　　　 P C(a,a,0),,　　　　　　　 A　　　　 E　　　　 D ,,　　 B　　　　 C 取平面ACD的一個法向量，設平面PCD的法向量是、，所以得　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　 　　 　　　　 所以不妨取得，從而計算得 易得二面角P-CD-A的平面角是銳角，所以其角的余弦是

如圖，要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者 例7、如下圖，已知正四面體ABCD的邊長為2，E為AD的中點，求EC與平面BCD所成的角。 分析：作AO⊥平面BCD，連結OD，并且　　　　　　　　　　　 A 過O作OF∥BC交CD于F，建立如圖所　　　　　　　　　　　　 E 示右手直角坐標系，則O(0，0，0)，　　　　 B　　　 O　　　　　 D E(0，，), 　　　C　　　　 F 易取得平面BCD上的一個法向量，所以，觀察與的方向，易知EC與平面BCD所成的角是

如果有一向量垂直于平面α，則向量叫做平面α的法向量。要證兩個平面平行，只需證這兩個平面同時垂直于它們的法向量。 例8、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A1BD∥平面B1D1C 分析：作如圖所示右手直角坐標系，　　　　 D　　　　　　 C 則各點坐標是A1(1，0，0)，　　　　　 A　　　　　 B D1(0，0，0)，B1(1，1，0)，　　　　　　 D1　 　　　　　C1 B(1，1，1)，D(0，0，1)，　　　　 A1　　　　 B1 C(0，1，1) ，則=(0，1，1)， 　=(-1，-1，0)，設平面A1BD有一法向量=(x,y,z)，則 　　　 y+z　　　　　　 -x +-y =0　　　　　　　　 　 x=z　　　　　　 y=-z　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 不妨取z=1，則=(1，-1，1) ，又由=(-1，-1，0)，　=(0，1，1)，易知=, =,所以與都與垂直，所以與平面B1D1C垂直，從而得到平面A1BD∥平面B1D1C

要證兩平面相互垂直，只需找出這兩個平面的兩個法向量，證明這兩個法向量相互垂直。 例9、　 如右圖，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC， BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點。　　　　　 E 求證：(1)DE=DA；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 M　　　　　 D (2)平面BDM⊥平面ECA；　　　　　　　　　 C　　　　　　　　 B (3)平面DEA⊥平面ECA；　　　　　　　　　　　　　 A 分析(3)：建立如圖所示右手直角坐標系 ，不妨設CA=2，則CE=2，BD=1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，　，　，　， 分別假設面CEA與面DEA的法向量是、，所以得　　　　 　　 　　　　　 　　 　　　　　　　　　 　　 　　　　　 　 　　　　　　　　 不妨取、，從而計算得，所以兩個法向量相互垂直，兩個平就相互垂直。 　 事實證明，法向量在求角、距離以及證明平行垂直中都有非常廣泛的應用，它在中學數(shù)學中的出現(xiàn)，是對傳統(tǒng)的立體幾何知識一個很好的補充及加深。