1．等腰三角形的對稱軸是（  ）

    A．頂角的平分線       B．底邊上的高

    C．底邊上的中線       D．底邊上的高所在的直線

2．等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是（  ）

    A．17cm     B．22cm     C．17cm或22cm     D．18cm

3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（  ）

    A．40°    B．50°    C．60°    D．30°

4．等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是（  ）

    A．100°    B．100°或40°    C．40°    D．80°

5．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（  ）

A．80°    B．90°    C．100°    D．108°

6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．

7．等腰三角形“三線合一”是指___________．

8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_________．

9．如圖，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數(shù)是_____．

10．△ABC中，AB=AC．點D在BC邊上

    （1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；

    （2）∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________；

    （3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．

11．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周長分別是20cm和16cm，求AD的長．

12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：∠ABC=∠ADC.

13．已知△ABC中AB=AC，點P是底邊的中點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，

求證：PD=PE.

14．如圖，CD是△ABC的中線，且CD= AB，你知道∠ACB的度數(shù)是多少嗎？由此你能得到一個什么結(jié)論？請敘述出來與你的同伴交流．

答案:

1．D  2．B  3．A  4．C  5．B  6．60

7．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合

8．（90+ n）°  9．70°  10．略  11．6cm

12．連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC

13．連接AP，證明AP平分∠BAC．

14．∠ACB=90°．結(jié)論：若一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

練習(xí)題

(第二課時)

1．如圖1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，則CD等于（  ）

A．3cm     B．4cm     C．1.5cm     D．2cm

           （1）                  (2)                        (3)

2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（  ）

    A．1個     B．2個     C．3個    D．4個

3．如圖2，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（  ）

A．①②③    B．①②③④    C．①②    D．①

4．如圖3，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（  ）

    A．∠ACD=∠B    B．CH=CE=EF    C．CH=HD    D．AC=AF

5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．

6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________．

7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．

8．一燈塔P在小島A的北偏西25°，從小島A沿正北方向前進(jìn)30海里后到達(dá)小島，此時測得燈塔P在北偏西50°方向，則P與小島B相距________．

9．如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點F，且∠ABD=∠ACE，

求證：BF=CF．

10．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，

求證：△DBE是等腰三角形．

11．如圖，AF是△ABC的角平分線，BD⊥AF交AF的延長線于D，DE∥AC交AB于E，

求證：AE=BE．

答案:

1．A  2．C  3．A  4．C  5．1  6．AB=AC  7．2cm  8．30海里

9．連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC

10．證明∠D=∠BED

11．證明∠EAD=∠EDA，∠EBD=∠EDB分別得到AE=DE，BE=DE

2.等邊三角形

知識要點

    1．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．

    2．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°

    3．等邊三角形的判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

    4．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．

典型例題

分析：由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°，從而想到把這兩個角拼在一起構(gòu)造全等三角形，即延長AC至點P，使CP=BE，證明△BDE≌CDP，然后證明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，從而把△AEF的周長轉(zhuǎn)化為用△ABC的邊長表示．

    解：延長AC至點P，使CP=BE，連接PD．

∵△ABC是等邊三角形 

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD=CD，∠BDC=120° 

∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠EBD=∠DCF=90°

    ∴∠DCP=∠DBE=90°

    在△BDE和△CDP中

∴△BDE≌△CDP（SAS） 

∴DE=DP，∠BDE=∠CDP

∵∠BDC=120°，∠EDF=60° 

∴∠BDE+∠CDF=60°  ∴∠CDP+∠CDF=60°

    ∴∠EDF=∠PDF=60°

    在△DEF≌△DPF中

    ∴△DEF≌△DPF（SAS）  ∴EF=FP  ∴EF=FC+BE

    ∴△AEF的周長=AE+EF+AF=AB+AC=2

練習(xí)題

1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（  ）

    A．60°    B．90°    C．120°    D．150°

2．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（  ）

    A．①②③    B．①②④    C．①③    D．①②③④

3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（  ）

    A．等邊三角形       B．腰和底邊不相等的等腰三角形

C．直角三角形       D．不等邊三角形

4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（  ）

    A．2cm     B．4cm    C．8cm     D．16cm

5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準(zhǔn)備的判斷是（  ）

A．等腰三角形    B．等邊三角形    C．不等邊三角形    D．不能確定形狀

6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．

7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______．

8．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________．

9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，則CD的長度是_______．

10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？

11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD.

12．如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②求證：CF=CH；③判斷△CFH的形狀并說明理由．

13．如圖，點E是等邊△ABC內(nèi)一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數(shù)．（提示：連接CE）

答案：

1．C  2．D  3．A  4．C  5．B  6．60°  7．60°

8．三；三邊的垂直平分線  9．1cm  10．60°或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；

②證明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等邊三角形．

13．連接CE，先證明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再證明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°