湖南省郴州市2009年高三第三次教學質量監(jiān)測

數(shù)學試題(理)

 

一、選擇題(本大題共8個小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只

1.已知集合則下列結論正確的是   (    )

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       A.                              B.

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       C.                          D.

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2.設與()都是非零向量,則+=,是∥()成立的       (    )

       A.充要條件                                           B.必要不充分條件

       C.充分不必要條件                                D.既不充分又不必要條件

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3.復數(shù)在復平面內對應的點位于                                                                   (    )

       A.第一象限           B.第二象限            C.第三象限           D.第四象限

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4.已知實數(shù)滿足約束條件的取值范圍是                (    )

       A.[1,2]               B.[0,2]                C.[1,3]               D.[0,1]

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5.設隨機變量服從正態(tài)分布N(0,1),若P(>1)=p,則P的值為(    )

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       A.               B.                 C.              D.

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6.函數(shù)的最大值和最小正周期分別為           (    )

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       A.1,π                B.2,2π               C.,2π          D.,π

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7.若的傾斜角為                            (    )

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       A.     B.            C.     D.

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8.已知為等差數(shù)列,若,且它的前n項和Sn有最大值,那么當Sn取得最小正值時,n=                                                  (    )

       A.11                     B.20                      C.19                     D.21

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二、填空題(本大題共7個小題,每小題5分,共35分,請把答案填在題中橫線上)

9.函數(shù)的反函數(shù)是              .

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10.若在的展開式中含有常數(shù)項,則正整數(shù)n 取得最小值時的常數(shù)項為            .

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11.將7 個不同的小球全部放入編號為2 和3 的兩個小盒子里,使得每個盒子里的球的個

數(shù)不小于盒子的編號,則不同的放球方法共有____________ 種. (用數(shù)字作答)

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12.設是三個不重合的平面,l 是直線,給出下列四個命題:

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①若;   

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②若;

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③若l上有兩點到的距離相等,則l//

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④若.

其中正確命題的序號是____________.

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13.已知函數(shù)是R 上的偶函數(shù),且在(0,+)上有x)> 0,若f(-1)= 0,那么關于x的不等式x fx)< 0 的解集是____________.

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14.己知拋物線的焦點為F,準線l與對稱軸交于R點,過已知拋物線上一點P(1,2)作PQ lQ ,則(i)拋物線的焦點坐標是____________;(ii)梯形PQRF的面積是____________.

 

 

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15.對于任意的正整數(shù)k,用gk)表示k 的最大奇因數(shù),例如:…,記則(i)當時,的關系是___________;(ii)=___________.

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三、解答題(本大題共6 個小題,共75 分,解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程. )

16.(本小題滿分12 分)

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已知△ABC 各頂點的直角坐標為A(―1,0)、B(1,0)、C(m,).

20090401

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   (2)若|CA| > |CB| ,且的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.(本小題滿分12 分)在A,B 兩只口袋中均有2 個紅球和2 個白球,先從A 袋中任取2 個球轉放到B 袋中,再從B 袋任取一個球轉放到A 袋中,結果A 袋中恰有個紅球.

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   (1)求=1 時的概率;

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   (2)求隨機變量的分布列及期望.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.(本小題滿分12 分)

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已知如圖(1),正三角形ABC 的邊長為2a,CD 是AB 邊上的高,E、F分別是AC 和BC 邊上的點,且滿足,現(xiàn)將△ABC 沿CD 翻折成直二面角A―DC―B,如圖(2).

   (1)試判斷翻折后直線AB 與平面DEF的位置關系,并說明理由;

   (2)求二面角B―AC―D 的大小;

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19.(本小題滿分13 分)

某地區(qū)發(fā)生流行性病毒感染,居住在該地區(qū)的居民必須服用一種藥物預防,規(guī)定每人每天早晚八時各服用一片,現(xiàn)知該藥片每片含藥量220 毫克. 若人的腎臟每12 小時從體內濾出這種藥的60%,在體內的殘留量超過386 毫克(含386 毫克),就將產生副作用.

   (1)某人上午八時第一次服藥,問到第二天上午八時服完藥時,這種藥在人體內還殘留多少?

   (2)長期服用這種藥的人會不會產生副作用?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題滿分13 分)

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橢圓的離心率為,右準線方程為,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2 .

   (1)求橢圓C 的方程

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   (2)若直線與以為直徑的圓相切并與橢圓C 交于A,B 兩點,

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21.(本小題滿分13 分)

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為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)fx

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   (1)求證:當時,對一切非負實數(shù)x恒成立;

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   (2)對于(0,1)內的任意常數(shù)a,是否存在與a 有關的正常數(shù),使得成立?如果存在,求出一個符合條件的;否則說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題(每小題5 分,共40 分)

DCABD  ABC

二、填空題(每小題5 分,共35分)

9.     10.     11.91    12.②④

13.     14.(i)(2分)    (ii)(3分)

15.(i)(3分);    (ii) (2分)

20090401

,2 分

8,3 分

解得;……………………4分分

(2)

 ………………6分

…………8分

由余弦定理得

 ……………………10分

 …………………………12分

17.解:(1)= 1 表示經過操作以后A 袋中只有一個紅球,有兩種情形出現(xiàn)

①先從A 中取出1 紅和1 白,再從B 中取一白到A 中

②先從A 中取出2 紅球,再從B 中取一紅球到A 中

…………………………(5分)

(2)同(1)中計算方法可知:

于是的概率分別列

0

1

2

3

P

 

E=……………………12分

18.解:(1)AB//平面DEF. 在△ABC 中,

∵E、F分別是AC、BC 上的點,且滿足

∴AB//EF.

∴AB//平面DEF. …………3 分

(2)過D點作DG⊥AC 于G,連結BG,

∵AD⊥CD, BD⊥CD,

∴∠ADB 是二面角A―CD―B 的平面角.

∴∠ADB = 90°, 即BD⊥AD.

∴BD⊥平面ADC.

∴BD⊥AC.

∴AC⊥平面BGD.

∴BG⊥AC .

∴∠BGD 是二面角B―AC―D 的平面角. 5 分

在Rt△ADC 中,AD = a,DC = a,AC = 2a,

在Rt

即二面角B―AC―D的大小為……………………8分

(2)∵AB//EF,

∴∠DEF(或其補角)是異面直線AB 與DE 所成的角. ………………9 分

∵AB =,

∴EF=  ak .

又DC = a,CE = kCA = 2ak,

∴DF= DE =

………………4分

∴cos∠DEF=………………11分

…………………………12分

19.解:(1)依題意建立數(shù)學模型,設第n 次服藥后,藥在體內的殘留量為an(毫克)

a1 = 220,a2 =220×1.4 ……………………2 分

a4 = 220 + a2 (1-0.6) = 343.2 ……………………5 分

(2)由an = 220 + 0.4an―1 (n≥2 ),

可得

所以()是一個等比數(shù)列,

不會產生副作用……………………13分

20.解:(1)由條件知:

……………………2分

b=1,

∴橢圓C的方程為:……………………4分

(2)依條件有:………………5分

…………7分

,

………………7分

…………………………9分

由弦長公式得

    得

=

 …………………………13分

21.解:(1)當

上單調遞增,

……………………5分

(2)(1),

需求一個,使(1)成立,只要求出

的最小值,

滿足

上↓

↑,

只需證明內成立即可,

為增函數(shù)

,故存在與a有關的正常數(shù)使(1)成立。13分

 


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