15．（本小題滿分13分）

在中，角的對(duì)邊分別為，且，，（I）求角的大小;   （II）求的面積.

16．（本小題12分）

某次演唱比賽，需要加試綜合素質(zhì)測試，每位參賽選手需回答三個(gè)問題，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有6道藝術(shù)類題目，2道文學(xué)類題目，2道體育類題目。測試時(shí)，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取三次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．

（I）求某選手在三次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率；

（II）求某選手抽到體育類題目數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17．（本小題14分）

如圖，直三棱柱中，，，D為棱 的中點(diǎn)．

（I）證明：；

（II）求異面直線與所成角的大小；

（III）求平面所成二面角的大小（僅考慮

     銳角情況）．

18．（本小題滿分13分）

已知函數(shù) .

（I）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；

（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

19.（本小題滿分14分）

已知F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)N，并且滿足，（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)是這個(gè)橢圓上的兩點(diǎn)，并且滿足時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.

20．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列時(shí)，.

  （Ⅰ）求；

  （Ⅱ）求證：；

  （Ⅲ）求證：僅存在兩個(gè)正整數(shù)，使得.

2008―2009學(xué)年度東城區(qū)高中示范校高三質(zhì)量檢測（二）

數(shù)學(xué)答案(理)

1．D   2．B   3．A   4 .B   5．  6．A   7．A   8．B

9.     10.         11.2        12.270        13.         14.

15．（本小題13分）

解：①             --------------------------        4分

                    --------------------------    6分

                                     --------------------------- 7分

②             ----------------------------  9分

                     -------------------------        11 分    

             --------------------------  13分

16．（本小題12分）

解：（1）從10道不同的題目中不放回的隨機(jī)抽取三次，每次只抽取1道題，抽法總數(shù)為，只有第一次抽到藝術(shù)類題目的抽法總數(shù)為

…………………………………………………………………（4分）

（2）抽到體育類題目數(shù)的可能取值為0，1，2

則

……………………………………………………………（8分）

所以的分布列為：……………………………………………………………………（10分）

0

1

2

P

從而有…………………………………………（12分）

17．（本小題14分）

（I）證：都為等腰直角三角形

，即…………………………………………… （2分）

又

………………………………………………………… （4分）

（II）解：連交于E點(diǎn)，取AD中點(diǎn)F，連EF、CF，則

是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）………………… （5分）

，，

在中，………………… （8分）

則異面直線與所成角的大小為…………………… （9分）

（III）解：延長與AB延長線交于G點(diǎn)，連接CG

過A作,連，

，（三垂線定理）

則的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，…………………… （13分）

，

即所求的二面角的大小為……………………………………… （14分）

（18）（本小題共13分）

解：（I）-------------------------（2分）

是奇函數(shù)，， ---（4分）

（II），

①當(dāng)時(shí)，恒有，

為 上的單調(diào)減函數(shù)；------------------------------(7分)

②當(dāng)時(shí)，由得

----（10分）

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；-------------（12分）

綜上：當(dāng)時(shí)，為 上的單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減.-------------------（14分）

19．（本小題共14分）

解：（1）由于，

     _{……………………………………}（3分）

解得，從而所求橢圓的方程為_{………………}              （5分）

   （2）三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（－2，0）.

設(shè)直線AB的方程為，

其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0.

由消去x得，

即_{………………………………}（6分）

根據(jù)條件可知 

解得_{…………………………………………………………}                                      （7分）

設(shè)，則根據(jù)韋達(dá)定理，得

又由

   從而

消去_{…………………………………………}                              （10分）

令，則

上的減函數(shù)，…………………………………………（12分）

從而，

即，

 ，

解得

因此直線AB的斜率的取值范圍是       （14分）

20．（本小題滿分14分）

   （I）解：b₅=1×2×3×4×5－1²－2²－3²－4²－5²=65.…………………………4分

   （II）證明：

                   =

                   =

                   .…………………………………………9分

   （III）解：易算出b₁=0，b₂≠0,b₃≠0, b₄≠0,…………………………………………11分

         當(dāng)n≥5時(shí)，b_n+1=b_n－1，這表明{b_n}從第5項(xiàng)開始，構(gòu)成一個(gè)以b₅=65為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列.

          由b_m=b₅+(m－5)×(－1)=65－m+5=0，解出m=70.…………………………13分

          因此，滿足a₁a₂…a_m=的正整數(shù)只有兩個(gè)；

          m=70或m=1.……………………………………………………………………14分