安徽省巢湖市2009屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)（理科）試題

 

命題人：   廬江二中   孫大志      柘皋中學(xué)   孫  平       巢湖四中   胡善俊

 

參考公式：

1.球的表面積公式，其中表示球的半徑.

2.球的體積公式，其中表示球的半徑.

3.柱體的體積公式 ，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.

4.錐體的體積公式 ，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.

5. 線性回歸方程中的的計算公式.

 

    一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

1.設(shè)集合，則為                                                                    

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A.       B.     C.     D.

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2. 等差數(shù)列的前項和為，若 ，則                             

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

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3. 函數(shù)的最小正周期為，且其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象                        

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A．關(guān)于點對稱                 B．關(guān)于直線對稱

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C．關(guān)于點對稱                D．關(guān)于直線對稱

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4．  已知為直線，為平面，則下列命題中真命題的是

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A.            B. 若，則   

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C.            D.

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5．已知雙曲線以坐標(biāo)原點為頂點，以曲線的頂點為焦點的拋物線與曲線漸近線的一個交點坐標(biāo)為（4，4），則雙曲線的離心率為                

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A.               .              C.               D.  

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6. 下列結(jié)論：

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 ①是周期為的必要條件；

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    ②；

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    ③“，使得”是假命題,則；

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④某校在巢湖市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測中的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，則.

其中正確的是                                                         

A. ②③        B.③④        C. ①②③        D. ①②③④

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7．已知向量，則的最小值為

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A. 1           B.          C.      D.

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8. 某廠一月份、二月份、三月份、四月份的利潤分別為2、4、4、6（單位：萬元），用線性回歸分析估計該廠五月份的利潤為                                       

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       A．6.5萬元                 B．7萬元                C．7.5萬元               D． 8萬元

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9. 下圖是把二進(jìn)制的數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)的一個程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是                                                               

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A.    B.   　　C.    　　D.

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10.關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為   

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A          B.         C.           D.

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11.已知集合，集合，若向區(qū)域內(nèi)投一點,則點落在區(qū)域內(nèi)的概率為                    

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A.            B.            C.              D.

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12. 已知函數(shù)的定義域為導(dǎo)函數(shù)為，則滿足的實數(shù)的取值范圍為         

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A.   B.   C.   D.

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分.

13.已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為，若以原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸，則直線被圓截得的弦長為                 .

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14. 如圖是甲乙兩同學(xué)在高三的5次月考成績的莖葉圖，         甲        乙

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根據(jù)莖葉圖對甲乙兩人的考試成績作比較，請你寫出               5   7

兩個統(tǒng)計結(jié)論：                                         8  6  1   8   0  2  6  7

①                                                   ；        5   9   0

②                                                .

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15. 二項式展開式中，前三項系數(shù)依次組成等差數(shù)列，則展開式中的常數(shù)項等于_              _.

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16.一個球的表面積為，則它的內(nèi)接圓柱的體積的最大值是         .

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17. （本小題滿分12分）

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已知向量，設(shè)

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（Ⅰ）求函數(shù) 在上的零點；

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（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知 ，求邊的值．

 

 

 

 

 

 

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    （Ⅰ）求三棱錐A-PDC的體積；

    （Ⅱ）試在PB上求點M，使得CM∥平面PDA；

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    (Ⅲ)  在BC邊上是否存在點Q，使得二面角A-PD-Q為？若存在，確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．

     

     

     

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    19. （本小題滿分12分）

        某社區(qū)舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進(jìn)行現(xiàn)場抽獎. 抽獎規(guī)則是:盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案.參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎.

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     （Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“海寶”卡？主持人笑說：我只知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎?wù)攉@獎的概率；

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    （Ⅱ）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，抽后放回，另一人再抽.用表示獲獎的人數(shù).求的分布列及．

     

     

     

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    20. （本小題滿分12分）

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          圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：

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    已知直線與曲線：交于兩點，的中點為，若直線和(為坐標(biāo)原點)的斜率都存在，則.

    這個性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

    （Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

    （Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：

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    ①     過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程；

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    ②     過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.

     

     

     

     

     

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    21.（本小題滿分12分）

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    已知函數(shù).

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    （Ⅰ）若在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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      （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間的最大值.

     

     

     

     

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    22. （本小題滿分14分）

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    已知數(shù)列滿足, .

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    （Ⅰ）若，證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式；

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    （Ⅱ）若，是否存在實數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由；

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    （Ⅲ）當(dāng)時，證明.

     

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    一、 A C C D A  B D B A C    D C

    二、13.   14. ①甲乙的平均數(shù)相同，均為85；② 甲乙的中位數(shù)相同，均為86；       ③乙的成績較穩(wěn)定，甲的成績波動性較大；……       15.       16.

    三、17（Ⅰ）

                =

                =

    由得，或

    由得 或.

    故函數(shù)的零點為和.       ……………………………………6分

    （Ⅱ）由，得

    由得 .又

    由得 

             ， 

                      ……………………………………12分

    18. 由三視圖可知：，底面ABCD為直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2

                                …………3分

    (Ⅱ) 當(dāng)M為PB的中點時CM∥平面PDA.

    取PB中點N,連結(jié)MN，DN，可證MN∥DN且MN＝DN

    ∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA                                …………6分

     (Ⅲ)分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

    假設(shè)在BC邊上存在點Q，使得二面角A-PD-Q為  

    ∴

     

    同理，，可得

    =，

    解得………………………………………12分

    19. （Ⅰ）設(shè)“世博會會徽”卡有張，由,得=6.

     故“海寶”卡有4張. 抽獎?wù)攉@獎的概率為.                 …………6分

    （Ⅱ），    的分布列為

    或

      

    1

    2

    3

    4

     

    p

                                                                             ………………………………12分

    20. （Ⅰ）證明 設(shè)

    相減得  

    注意到  

    有        

    即                        …………………………………………5分

    （Ⅱ）①設(shè)

    由垂徑定理，

    即       

    化簡得  

    當(dāng)與軸平行時，的坐標(biāo)也滿足方程.

    故所求的中點的軌跡的方程為；

    …………………………………………8分

    ②     假設(shè)過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則

             

    由于 

    直線，即，代入曲線的方程得

             即    

             由  得.

    故當(dāng)時，存在這樣的直線，其直線方程為；

    當(dāng)時，這樣的直線不存在.        ………………………………12分

    21. （Ⅰ）

    由得                   …………………………3分     

    　　　

    當(dāng)時，當(dāng)時，

    故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.   ………………………5分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）

    由得 

    當(dāng)時，當(dāng)時，

    在處取得極大值,

    ……………………………………7分

    （1）       當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間為遞減 ，

    （2）     當(dāng)時， ，

    （3）       當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間為遞增 ，

                                      

                                              ………………………………………12分

    22. （Ⅰ）

             

                  …………………………………6分

    （Ⅱ）解法1：由，得

    猜想時，一切時恒成立.

    ①當(dāng)時，成立.

    ②設(shè)時，，則由

    得=

    *時，

    由①②知時，對一切，有.   ………………………………10分

    解法2：假設(shè)

    記，可求

    故存在，使恒成立.            …………………………………10分

    （Ⅲ）證法1：

    ，由（Ⅱ）知

                                         …………………………………14分

    證法2：

    猜想.數(shù)學(xué)歸納法證明

    ①當(dāng)時，成立

    ②假設(shè)當(dāng)時，成立

    由①②對，成立，下同證法1。

                                                …………………………………14分

     

     

     

     


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