絕密
數(shù)學(xué)試卷
 
時(shí)量150分鐘，滿分150分
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么
如果事件A在1次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
球的表面積公式，體積公式， 其中R表示球的半徑
得分
評卷人
復(fù)評人
一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）
1．函數(shù)(x>1)的反函數(shù)為y=,則等于  ……………………（   ）
     A．3                     B．2                       C．0                       D．-2


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2．設(shè)集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)最多有（   ）
     A．1個(gè)                 B．2個(gè)                   C．3個(gè)                   D．4個(gè)


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3．  從雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)看兩個(gè)頂點(diǎn)的視角為直角，則雙曲線的離心率為……… （   ）


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A．            B．2             C．         D．


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4．過P（1，1）作圓的弦AB，若，則AB的方程是………（   ）
A  y=x+1       
B.y=x +2            
 C.y= -x+2       D.y= -x-2


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5．在展開式中，的系數(shù)是   …………………………………………    （   ）


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A．         B．        C．297          
D．207


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6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是   …………………………………………   （   ）


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A．        B．   


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C．        D．       


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7．若，則b的取值范圍是  …………………………………………   （   ）


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A．              B．          C．             D．


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8．設(shè)，則y=的最小值為    …………………………………………  （   ）
  A．24                       B．25                     C．26                      D．1


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9．如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法   ……………………………………………………………………………（   ）
A．24種                     B．72種            C．84種          
D．120種


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10．平面的一條斜線與平面交于點(diǎn)P，Q是上一定點(diǎn)，過點(diǎn)Q的動直線與垂直，那么與平面交點(diǎn)的軌跡是………  （    ）   
A．直線         B. 圓        C. 橢圓        
D. 拋物線
                                            

 
 
 
                                                       
    （第9題圖）
得分
評卷人
復(fù)評人
 
 
 
 


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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上）
11．             
.


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12．不等式的解集為               
．


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13．設(shè)M是橢圓上的動點(diǎn)，和分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則的
最小值等于            
.


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14.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且，，則       ．


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15．將一個(gè)鋼球置于由6根長度為m的鋼管焊接成的正四面體的鋼架內(nèi)，那么，這個(gè)鋼球的最大體積為        .
得分
評卷人
復(fù)評人


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三．解答題(本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16．（本小題滿分12分）
 
 
 


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已知的外接圓的半徑為,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，又向量，,且
（I）求角C;
（II）求三角形ABC的面積S的最大值．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
得分
評卷人
復(fù)評人


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17．（本小題滿分12分）
 
 
 
湖南省某單位從5名男職工和3名女職工中任意選派3人參加省總工會組織的“迎奧運(yùn)，爭奉獻(xiàn)”演講比賽．
（I）求該單位所派3名選手都是男職工的概率;
（II）求該單位男職工、女職工都有選手參加比賽的概率；


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（III）如果參加演講比賽的每一位選手獲獎的概率均為，則該單位至少有一名選手獲獎的概率是多少？
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
得分
評卷人
復(fù)評人


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18. （本小題滿分12分）
 
 
 
把邊長為2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，設(shè)折疊后BC的中點(diǎn)為P.
（I）求異面直線AC，PD所成的角的余弦值;
（II）求二面角C―AB―D的大小;


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（III）在AB上是否存在一點(diǎn)S，使得？若存在，試確定S的位置，若不存在，試說明理由.


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得分
評卷人
復(fù)評人


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19．（本小題滿分12分）
 
 
 


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設(shè)函數(shù)


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（I）證明：
是函數(shù)在區(qū)間上遞減的必要而不充分的條件；


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（II）若時(shí)，恒成立，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
得分
評卷人
復(fù)評人


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20．（本小題滿分13分）
 
 
 


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已知曲線C上的動點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比到點(diǎn)F（1，0）的距離小1.
（I）求曲線C的方程;


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（II）過F作弦PQ、RS，設(shè)PQ、RS的中點(diǎn)分別為A、B，若，求最小時(shí)，弦PQ、RS所在直線的方程;


試題詳情


（III）是否存在一定點(diǎn)T，使得？若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
得分
評卷人
復(fù)評人


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21．（本小題滿分14分）
 
 
 


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已知曲線C：，C上的兩點(diǎn)A、的橫坐標(biāo)分別為2與，，數(shù)列滿足（且，）．設(shè)區(qū)間，當(dāng)時(shí)，曲線C上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)處的切線與平行．


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（I）建立與的關(guān)系式；


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（II）證明：是等比數(shù)列；


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（III）當(dāng)對一切恒成立時(shí)，求t的范圍．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


一．            
選擇題（每小題5分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
D
B
C
B
C
A
 
二．            
填空題（每小題5分）
11．       12。     13。-1      
14。       15。
三．            
解答題
……………2分
且2R=，由正弦定理得：
化簡得：                       ……………4分
由余弦定理：
……………11分
所以，……………12分
17．解：（I）記事件A=“該單位所派的選手都是男職工” ……………1分
則P（A）=        
……………3分
（II）記事件B=“該單位男職工、女職工選手參加比賽”
……………4分
則P（B）=……………7分
（III）設(shè)該單位至少有一名選手獲獎的概率為P，則
或……………12分
18．（解法一）（I）取AB的中點(diǎn)為Q，連接PQ，則，所以，為AC與BD所成角……………2分
  
   
又CD=BD=1，，而PQ=1，DQ=1
……………4分
 
（II）過D作，連接CR，，
……………6分
在，
……………8分
……………9分
（解法二）（I）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB、AD、DC所在直線分別為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系。則A（），C（0，0，1），B（1，0，0），P（），D（0，0，0）
 
，……2分
所以，異面直線AC與BD所成角的余弦值為……………4分
（II）面DAB的一個(gè)法向量為………5分
設(shè)面ABC的一個(gè)法向量，則
,取，……………7分
則
……………8分
…………9分
（III）不存在。若存在S使得AC，則，與（I）矛盾。故不存在…12分
19．解：（I）在區(qū)間上遞減，其導(dǎo)函數(shù)……………1分
……………4分
故是函數(shù)在區(qū)間上遞減的必要而不充分的條件……………5分
（II）
      ……………6分
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在（）上遞增，在上遞減，在上遞增，故有
……………9分
當(dāng)a〈0時(shí)，函數(shù)在上遞增，只要
令，則…………11分
所以在上遞增，又
不能恒成立。
故所求的a的取值范圍為……………12分
20．解：（I）由條件，M到F（1，0）的距離等于到直線 x= -1的距離,所以，曲線C是以F為焦點(diǎn)、直線 x= -1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為……………3分
（II）設(shè)，代入得：……………5分
由韋達(dá)定理
，
……………6分
，只要將A點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，得……7分
 
……………8分
所以，最小時(shí)，弦PQ、RS所在直線的方程為，
即或……………9分
（III），即A、T、B三點(diǎn)共線。
是否存在一定點(diǎn)T，使得,即探求直線AB是否過定點(diǎn)。
由（II）知，直線AB的方程為………10分
即，直線AB過定點(diǎn)（3，0）．……………12分
故存在一定點(diǎn)T（3，0），使得……………13分
21．解：（I）因?yàn)榍�在處的切線與平行
……………4分
   ，  
（III）。由（II）知：=
，從而……………11分
，
 

				
	

		



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