1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

2．實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

   3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

   4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

  例1.

    分析：

，

  例2.

例3.

    A. 1個(gè)           B. 2個(gè)           C. 3個(gè)           D. 1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

    分析：

出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）。

  例4.

    分析：

 例5.

    分析：

構(gòu)造直線的截距的方法來求之。

截距。

 例6.

    分析：

以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截

  例7.

MF₁的中點(diǎn)，O表示原點(diǎn)，則|ON|=（    ）

    分析：①設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F₂，（如圖），

          又注意到N、O各為MF₁、F₁F₂的中點(diǎn)，

    ∴ON是△MF₁F₂的中位線， 

    ②若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF₁中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計(jì)算量，方法較之①顯得有些復(fù)雜。

例8.

    分析：

  例9.

    解法一（代數(shù)法）：，

    解法二（幾何法）：

例10.

    分析：

轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對(duì)式子平方處理，將會(huì)把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個(gè)根號(hào)，故可采用兩步換元。

    解：

第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖）

    相切于第一象限時(shí)，u取最大值

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。

見優(yōu)化設(shè)計(jì)。

【模擬試題】

  1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（    ）

    A. 1個(gè)           B. 2個(gè)           C. 3個(gè)           D. 4個(gè)

  2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）

    A.                                   B.

    C.                      D.

  3. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（    ）

    A. 充分不必要條件                   B. 必要不充分條件

    C. 充要條件                              D. 不充分也不必要條件

  4. 適合且的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（    ）

    A. 0個(gè)                  B. 1個(gè)                  C. 2個(gè)           D. 4個(gè)

  5. 若不等式的解集為則a的值為（     ）

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

  6. 已知復(fù)數(shù)的最大值為（    ）

    A.          B.              C.          D.

  7. 若時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍為（    ）

    A. （0，1）         B. （1，2）         C. （1，2]           D. [1，2]

  8. 定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，則（    ）

    A.                             B.

    C.                    D.

  9. 若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為___________。

  10. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，則、由小到大依次為___________。

  11. 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________。

  12. 函數(shù)的最小值為___________。

  13. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________。

  14. 若方程上有唯一解，

    求m的取值范圍。

  15. 若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。

  16. 設(shè)，試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。

【試題答案】

  1. C

    提示：畫出在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。

  2. D

    提示：畫出的圖象

    情形1：

    情形2：

  3. A

  4. C

    提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條件，另外，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足，故滿足條件的z有兩個(gè)。

  5. B

    提示：畫出的圖象，依題意，從而。

  6. C

    提示：由可知，z₂對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，

    而

    表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，

    結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為：

  7. C

    提示：令，

    若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，

    要使，只需使，綜上可知

    當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立。

    若，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒不成立。

    可見應(yīng)選C

  8. A

    提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對(duì)稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由f(x)在（）上為增函數(shù)，可知，f(x)在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。

  9.

    提示：|Z|=2表示以原點(diǎn)為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復(fù)數(shù)Z與－1+i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離。

    由圖形，易知，該距離的最大值為。

  10.

    提示：由知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知的大小。

  11.

    提示：設(shè)，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個(gè)不相等實(shí)根，只需使

  12. 最小值為

    提示：對(duì)，聯(lián)想到兩點(diǎn)的距離公式，它表示點(diǎn)（x，1）到（1，0）的距離，表示點(diǎn)（x，1）到點(diǎn)（3，3）的距離，于是表示動(dòng)點(diǎn)（x，1）到兩個(gè)定點(diǎn)（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。

  13.

    提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需直線的縱截距，即。

  14. 解：原方程等價(jià)于

    令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象，

    其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]{1}。

    注：一般地，研究方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。

  15. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，表示過原點(diǎn)的直線系，不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對(duì)應(yīng)的x值。

    由于不等式解集

    因此，只需要

    ∴a的取值范圍為（2，+）。

  16. 解：將原方程化為：，

    ∴

    令，它表示傾角為45°的直線系，

    令，它表示焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，

    ∵原方程有解，

    ∴兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由下圖，知

    ∴

    ∴k的取值范圍為