(2)求的值.
分析 題考查等比數(shù)列的求和及常見數(shù)列的極限.一般地,當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q是一字母常數(shù)時(shí),在求和過程中,要分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.
解 (1)由已知得an=c?an-1, 2分
∴{an}是以a1=3,公比為c的等比數(shù)列,則an=3?cn-1.
18.★(本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,a1=3,且滿足lgan=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整數(shù),c是正數(shù).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn;
∴
∴kak+2+a1=(k+1)ak+1.
又∵ak+1=a1+kd,
(d為等差數(shù)列a1,a2,…,ak+1的公差)
∴kak+2+a1=(k+1)(a1+kd).
∴ak+2=a1+(k+1)d.
∴a1,a2,…,ak+2成等差數(shù)列. 6分
∴n=k+1時(shí),結(jié)論成立,
由(1)、(2)知,對(duì)于一切n≥2結(jié)論成立. 8分
則n=k+1時(shí),∵成立, 4分
即由
可推出a1,a2,…,ak+1成等差數(shù)列.
證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),由2a2=a1+a3,
∴a1,a2,a3成等差數(shù)列,結(jié)論成立. 2分
(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),結(jié)論成立,
17.(本小題滿分8分)已知數(shù)列{an}中,an≠0(n∈N*)且當(dāng)n≥2時(shí)等式恒成立,求證:{an}成等差數(shù)列.
分析 加深理解數(shù)學(xué)歸納法是判定數(shù)列特殊性的基本方法.關(guān)鍵是把判定等差數(shù)列的方法轉(zhuǎn)化為公式,從而明確歸納法的應(yīng)用對(duì)象.
由于|q2|<1,∴( a1+a3+a5+…+a2n-1)= 8分
∴a1+a3+a5+…+a2n-1是首項(xiàng)為,公比為q2=(-)2=的等比數(shù)列. 6分
可見{an}是首項(xiàng)為,公比q=-的等比數(shù)列. 4分
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