右式=+1,∴≤1+≤,命題成立.　　　　2分

(2)假設(shè)當n=k(k∈N*)時命題成立,即

證明 (1)當n=1時,左式=1+,

18.(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

分析 本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.合理運用歸納假設(shè)后,向目標靠攏的過程中,可以利用證明不等式的一切方法去證明.

6分

所以,當n=k+1時猜想也成立.

根據(jù)(1)、(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.        8分

那么, +++…++

+++…+=,     4分

右邊===,

猜想成立.

(2)假設(shè)當n=k(k∈N*)時猜想成立,即

(1)當n=1時,左邊=S₁=,

可以看到,上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想.                    2分

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.

S₄=+=.