2．涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時,要注意運用“設而不求”的策略,避免求交點坐標的復雜運算．

1．求拋物線方程的方法：待定系數法,定義法,直接法;

4．特別注意范圍的限定．

[例4](2005全國卷Ⅲ)設兩點在拋物線上，l是AB的垂直平分線．

　 (Ⅰ)當且僅當取何值時，直線l經過拋物線的焦點F？證明你的結論；

　　　　　　　　　　　　　　　　 (Ⅱ)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．

　　　　　　　　　　　　　　　　 解：(Ⅰ)兩點到拋物線的準線的距離相等．

∵拋物線的準線是x軸的平行線，不同時為0，

∴上述條件等價于

∵，　 ∴上述條件等價于　

即當且僅當時，l經過拋物線的焦點F．

另解：(Ⅰ)∵拋物線，即，

∴焦點為

(1)直線的斜率不存在時，顯然有

(2)直線的斜率存在時，設為k，　　　　 截距為b

即直線：y=kx+b　　　 由已知得：

即的斜率存在時，不可能經過焦點

所以當且僅當=0時，直線經過拋物線的焦點F

(II)(理)設l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為；過點A、B的直線方程可寫為，所以滿足方程得；

A，B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式

即

設AB的中點N的坐標為，則

由

即得l在y軸上截距的取值范圍為()．

法二:y₁=2x₁², y₂=2x₂², 相減得

,

中點在拋物線內必

[研討．欣賞](2005山東文)

已知動圓過定點，且與直線相切，其中．

(I)求動圓圓心的軌跡的方程；

(II)設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標．

解：(I)如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為

(II)如圖，設，由題意得。又直線的傾斜角滿足，故�！嘀本�的斜率存在，否則，的傾斜角。從而設直線的方程為，顯然，將與

聯立消去，得由韋達定理知①

由，得

。將①式代入上式整理化簡，得：此時直線的方程可表示為：，即�！嘀本�恒過定點

3．運用距離公式求出標準方程中的待定系數;

2．合理選擇坐標系,確定標準方程;

[例1]給定拋物線y²=2x，設A(a，0)，a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d，試求d的最小值．

解：設P(x₀，y₀)(x₀≥0)，則y₀²=2x₀，

∴d=｜PA｜=

==．

∵a＞0，x₀≥0，

∴(1)當0＜a＜1時，1－a＞0，

此時有x₀=0時，d_min==a．

(2)當a≥1時，1－a≤0，

此時有x₀=a－1時，d_min=．

[例2]過拋物線y²=2px(p＞0)焦點F的弦AB，點A、B在拋物線準線上的射影為A₁、B₁，求∠A₁FB₁．

解法1：由拋物線定義及平行線性質知∠A₁FB₁=180°－(∠AFA₁+∠BFB₁)

=180°－(180°－∠A₁AF)－(180°－∠B₁BF)

=(∠A₁AF+∠B₁BF)=90°．

法2：設弦AB的方程是：

得,

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由韋達定理得y₁y₂= -p²

又,

∴從而知∠A₁FB₁=90°．

提煉方法： 1．平面幾何法與定義法結合,簡捷高效;

2． 弦AB的方程是：(本題不存在AB垂直于y軸的情況),避開了斜率存在性的討論,解題中應注意靈活運用．

[例3] 如下圖所示，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．

解：以直線l₁為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由條件可知，曲線段C是以點N為焦點，以l₂為準線的拋物線的一段．其中A、B分別為曲線段C的端點．

設曲線段C的方程為y²=2px(p>0)(x_A≤x≤x_B，y>0)，其中x_A、x_B為A、B的橫坐標，p=|MN|，

所以M(－，0) 、N(，0)．

由|AM|=，|AN|=3，得

(x_A+)²+2px_A=17，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

(x_A－)²+2px_A=9．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

①②聯立解得x_A=，代入①式，并由p>0，

x_A=1　　　 x_A=2．

因為△AMN為銳角三角形，所以>x_A．

x_A=2．　　　　 x_A=1．

由點B在曲線段C上，得x_B=|BN|－=4．

綜上，曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4，y>0)．

提煉方法： 1．熟練運用定義確定曲線C是拋物線段;

5．把點A的坐標(0，9)代入y=ax²+c得c=9，即運動物體的軌跡方程為y=ax²+9．

令y=0，得ax²+9=0，即x²=－．

若物體落在D內，應有6＜＜7，

解得－＜a＜－．　　 6.N(x₀+4, 0)

6．已知拋物線y²=8x上兩個動點A、B及一個定點M(x₀, y₀)，F是拋物線的焦點，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數列，線段AB的垂直平分線與x軸交于一點N則點N的坐標是_____________(用x₀表示)；

簡答：1-4．BBDC；　 4．考慮特殊位置,令焦點弦PQ平行于軸,

5． 下圖所示的直角坐標系中，一運動物體經過點A(0，9)，其軌跡方程是y=ax²+c(a＜0)，D=(6，7)為x軸上的給定區(qū)間．為使物體落在D內，a的取值范圍是___________；

4．過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別為p、q,則等于 (　　 )

A　 　　　　B 　　　　C 　　　　　D