14. 設(shè)復數(shù)z=+,
問當x為何實數(shù)時,z是⑴實數(shù), ⑵ 虛數(shù), ⑶ 純虛數(shù), ⑷ z在復平面上對應(yīng)的點在實軸上方,⑸|z|=1
解:⑴當,即x=a或時z為實數(shù);
⑵當,即且時z為虛數(shù);
⑶當=0且,即x=1時z為純虛數(shù)
⑷.若0<a<1,則0<x<a或x>;若a>1,則x>a或0<x<時z對應(yīng)的點在實軸上方;
⑸當+=1即x=1時,|z|=1
[探索題]設(shè)z是虛數(shù),ω=z+是實數(shù),且-1<ω<2
(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;
(2)設(shè)u=,求證:u為純虛數(shù);
(3)求ω-u2的最小值
解(1):設(shè)z=a+bi(a、b∈R,b≠0),
則ω=a+bi+=(a+)+(b-)i
∵ω是實數(shù),b≠0,
∴a2+b2=1,即|z|=1
∵ω=2a,-1<ω<2,
∴z的實部的取值范圍是(-,1)
(2)證明:u==
= =-i
∵a∈(-,1),b≠0,
∴u為純虛數(shù)
(3)解:ω-u2=2a+
=2a-1+
=2[(a+1)+]-3
∵a∈(-,1),∴a+1>0
∴ω-u2≥2×2-3=1
當a+1=,即a=0時,上式取等號
∴ω-u2的最小值為1
13. 已知,且復數(shù)的虛部減去它的實部所得的差等于,求復數(shù)的模;
解.
即
12. 已知復數(shù)當求a的取值范圍,
解:
因
故a的取值范圍是
11.已知z是復數(shù),z+2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復數(shù)(z+ai)2在復平面上對應(yīng)的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍
解:設(shè)z=x+yi(x、y∈R),
∴z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2
==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+ (x-4)i
由題意得x=4,∴z=4-2i
∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
根據(jù)條件,已知解得2<a<6,
∴實數(shù)a的取值范圍是(2,6)
10.若復數(shù)(a∈R,i為虛數(shù)單位位)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為_____
◆練習簡答:1-4.DDDB; 5.-i ; 6.0; 7.; 8.; 9.; 10.-6.
[解答題]
9.若 , ,且為純虛數(shù),則實數(shù)a的值為___ .
8.(2005全國Ⅲ).已知復數(shù)z0=3+2i, 復數(shù)z滿足zz0=3z+z0,則z=
7.(2006廣東) 若復數(shù)滿足方程,則_______
6. (2005湖南)復數(shù)z=i+i2+i3+i4+……+i2008=__________
5.(2005全國Ⅰ)復數(shù)的共軛復數(shù)是 ________
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