2． 對(duì) 型的極限，要分別通過“約去使分母為零的因式、同除以分子、分母的最高次冪、有理化分子”等變形，化歸轉(zhuǎn)化后再求極限值。

1． 極限的四則運(yùn)算法則只用于有限次的運(yùn)算,對(duì)于n項(xiàng)和的極限,要先求和再求極限;

[例1] 求下列極限：

(1);　 (2) (－n);

(3)(++…+)．

分析:(1)因?yàn)榉肿臃帜付紵o極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過變形分子分母同除以n²后再求極限；(2)因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；(3)因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限．

解:(1)==．

(2) (－n)= ==．

(3)原式===(1+)=1．

◆特別提示::對(duì)于(1)要避免下面兩種錯(cuò)誤：①原式===1,②∵(2n ²+n+7), (5n²+7)不存在，∴原式無極限．對(duì)于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤：　　　　　 ①(－n)= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在．對(duì)于(3)要避免出現(xiàn)原式=++…+=0+0+…+0=0這樣的錯(cuò)誤．

[例2] 已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a₁＝3，且滿足lga_n＝lga_n－1+lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n和S_n；

(2)求的值．

解:(1)由已知得a_n＝c·a_n－1,

∴{a_n}是以a₁＝3，公比為c的等比數(shù)列，則a_n＝3·c^n－1．

∴S_n＝

(2) ＝．

①當(dāng)c=2時(shí)，原式＝－;

②當(dāng)c＞2時(shí)，原式＝＝－;

③當(dāng)0＜c＜2時(shí)，原式=＝．

評(píng)述:求數(shù)列極限時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用．

[例3] 已知直線l:x－ny=0(n∈N *),圓M:(x+1)²+(y+1)²=1,拋物線:y=(x－1)²,又l與M交于點(diǎn)A、B，l與交于點(diǎn)C、D，求．

分析:要求的值，必須先求它與n的關(guān)系．

解:設(shè)圓心M(－1,－1)到直線l的距離為d,則d²=．

又r=1,∴|AB|²=4(1－d²)=．

設(shè)點(diǎn)C(x₁,y₁), D(x₂,y₂)，

由nx²－(2n+1)x+n=0,

∴x₁+x₂=, x₁·x₂=1．

∵(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂=,(y₁－y₂)²=(－)²=,

∴|CD|²=(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²

=(4n+1)(n²+1)．

∴===2．

評(píng)述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題．要求極限，需先求,這就要求掌握求弦長(zhǎng)的方法．

[例4]若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=1,且對(duì)任意n∈N*,a_n與a_n+1恰為方程x²－b_nx+cⁿ=0的兩根,其中0＜|c|＜1,當(dāng)(b₁+b₂+…+b_n)≤3時(shí),求c的取值范圍．

解:首先,由題意對(duì)任意n∈N*,a_n·a_n+1=cⁿ恒成立．

∴===c．又a₁·a₂=a₂=c．

∴a₁,a₃,a₅,…,a_2n－1,…是首項(xiàng)為1,公比為c的等比數(shù)列,a₂,a₄,a₆,…,a_2n,…是首項(xiàng)為c,公比為c的等比數(shù)列．其次,由于對(duì)任意n∈N*,a_n+a_n+1=b_n恒成立．

∴==c．又b₁=a₁+a₂=1+c,b₂=a₂+a₃=2c,

∴b₁,b₃,b₅,…,b_2n－1,…是首項(xiàng)為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b₂,b₄,b₆,…,b_2n,…是首項(xiàng)為2c,公比為c的等比數(shù)列,

∴ (b₁+b₂+b₃+…+b_n)

= (b₁+b₃+b₅+…)+ (b₂+b₄+…)

=+≤3．

解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0．

故c的取值范圍是(－1,0)∪(0,］．

提煉方法: 本題的解題目標(biāo)是將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式,即將{b_n}的各項(xiàng)和表示為關(guān)于c的解析式;關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列特點(diǎn)的分析和運(yùn)用;顯然“起點(diǎn)”應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．

[研討．欣賞]在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí),先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),然后采用如下方法進(jìn)行:從原點(diǎn)出發(fā),在x軸上向正方向前進(jìn)a(a＞0)個(gè)單位后,向左轉(zhuǎn)90°,前進(jìn)a r (0＜r＜1＝個(gè)單位,再向左轉(zhuǎn)90°,又前進(jìn)a r²個(gè)單位,…,如此連續(xù)下去．

(1)若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營(yíng)失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同,則大本營(yíng)在何處尋找小分隊(duì)?

(2)若其中的r為變量,且0＜r＜1,則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條曲線上?

剖析：(1)小分隊(duì)按原方案走,小分隊(duì)最終應(yīng)在運(yùn)動(dòng)的極限位置．

(2)可先求最終目的地關(guān)于r的參數(shù)形式的方程．

解:(1)由已知可知即求這樣運(yùn)動(dòng)的極限點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)的極限位置為Q(x,y),則

x=a－ar²+ar⁴－…==,

y=ar－ar³+ar⁵－…=,

∴大本營(yíng)應(yīng)在點(diǎn)(,)附近去尋找小分隊(duì)．

(2)由消去r得(x－)²+y²=(其中x＞,y＞0),

即行動(dòng)的最終目的地在以(,0)為圓心,為半徑的圓上．

6． －1

5． =0．12+0．0012+…=0．12/(1─0．01) =4/33．

4． ．分子先求和,再求極限．

3．由=2,得a=2b．

由=3,得b=3c,∴c=b．

∴=6．∴== =6．　

6． =_____

簡(jiǎn)答:1-3．BBD；

5． 將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)是_________

4．(2006重慶)　　 。