2.,令,得,
∴,
又.
∴
4..
分析:函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo),必有最大值和最小值,因此,在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時(shí),只需求出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極值,然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行比較即可.
解:1.,令,得,
∴.又
∴
3.
2.;
1.;
2..
若滿(mǎn)足條件的存在,則
∵函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù),∴當(dāng)時(shí),,
即對(duì)于恒成立.
∴
∴,解得.
又函數(shù)在(-1,0)上是增函數(shù),∴當(dāng)時(shí),
即對(duì)于恒成立,
∴
∴,解得.
故當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù),即滿(mǎn)足條件的存在.
說(shuō)明:函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式,它包含著運(yùn)動(dòng)、變化,也就存在著量與量之間的相互依賴(lài)、相互制約的關(guān)系.因此挖掘題目中的隱含條件則是打開(kāi)解題思路的重要途徑,具體到解題的過(guò)程,學(xué)生很大的思維障礙是迷失方向,不知從何處入手去溝通已知與未知的關(guān)系,使分散的條件相對(duì)集中,促成問(wèn)題的解決.不善于應(yīng)用恒成立和恒成立,究其原因是對(duì)函數(shù)的思想方法理解不深.
利用導(dǎo)數(shù)比較大小
例 已知a、b為實(shí)數(shù),且,其中e為自然對(duì)數(shù)的底,求證:.
分析:通過(guò)考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法.根據(jù)題目自身的特點(diǎn),適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)關(guān)系,在建立函數(shù)關(guān)系時(shí),應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比較容易的函數(shù),一般地,證明,可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,如果,則函數(shù)在上是增函數(shù),如果,由增函數(shù)的定義可知,當(dāng)時(shí),有,即.
解:證法一:
,∴要證,只要證,
設(shè),則.
,∴,且,∴
∴函數(shù)在上是增函數(shù).
∴,即,
∴
證法二:要證,只要證,
即證,設(shè),則,
∴函數(shù)在上是減函數(shù).
又,即
說(shuō)明:“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式,應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是:一要有明確的方向,即為什么目的而構(gòu)造;二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn),以便重新進(jìn)行邏輯組合.解決這種問(wèn)題常見(jiàn)的思維誤區(qū)是不善于構(gòu)造函數(shù)或求導(dǎo)之后得出的錯(cuò)誤結(jié)論.
判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性
例 函數(shù)在區(qū)間上是( )
A.增函數(shù),且 B.減函數(shù),且
C.增函數(shù),且 D.減函數(shù),且
分析:此題要解決兩個(gè)問(wèn)題:一是要判斷函數(shù)值y的大;二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性.
解:解法一:令,且,
則,排除A、B.
由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知,u在 上為減函數(shù).
又亦為減函數(shù),故在 上為增函數(shù),排除D,選C.
解法二:利用導(dǎo)數(shù)法
(),故y在上是增函數(shù).
由解法一知.所以選C.
說(shuō)明:求函數(shù)的值域,是中學(xué)教學(xué)中的難關(guān).一般可以通過(guò)圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解,也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值等(包括初等方法和導(dǎo)數(shù)法).對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)是可以利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷,但是利用導(dǎo)數(shù)法判斷一些較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢(shì)的.
2.設(shè),試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使在內(nèi)為減函數(shù),且在(-1,0)內(nèi)是增函數(shù).
分析:根據(jù)題設(shè)條件可以求出的表達(dá)式,對(duì)于探索性問(wèn)題,一般先對(duì)結(jié)論做肯定存在的假設(shè),然后由此肯定的假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證,由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來(lái)作出判斷.解題的過(guò)程實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過(guò)程,由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù),因此選擇好解題的突破口,要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價(jià)的不等式,確定適合條件的參數(shù)的取值范圍,使問(wèn)題獲解.
解:1.由題意得,
,
∴
∴
1.設(shè),求的解析式;
3.函數(shù)定義域?yàn)?sub>
令,得或.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和;
令,得且,
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和.
說(shuō)明:依據(jù)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運(yùn)動(dòng)性.解決這類(lèi)問(wèn)題,如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,運(yùn)算顯得繁瑣,區(qū)間難以找準(zhǔn).學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是將兩個(gè)以上各自獨(dú)立單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫(xiě)成并集的形式,如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫(xiě)成 和 的錯(cuò)誤結(jié)果.這里我們可以看出,除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外,還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用.
求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)
例 已知,且
2.函數(shù)定義域?yàn)?sub>
令,得.
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,1);
令,得,
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).
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