2．，∴

當或時，，當時，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)，在(－1，1)上是減函數(shù)．

∴當時，函數(shù)取得極大值，

當時，函數(shù)取得極小值．

說明：解題的成功要靠正確思路的選擇．本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向．可見出路在于“思想認識”．在求導之后，不會應用的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙．

2．試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．

分析：考察函數(shù)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數(shù)的關(guān)系，即極值點必為的根建立起由極值點所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值．

解：1．解法一：．

是函數(shù)的極值點，

∴是方程，即的兩根，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

又，∴，　　 (3)

由(1)、(2)、(3)解得．

解法二：由得

，　　 (1)

　　　 (2)

又，∴， 　　(3)

解(1)、(2)、(3)得．

1．試求常數(shù)a、b、c的值；

2．

∴

令，得．

當或時，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當或時，，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)．

∴當和時，函數(shù)有極小值0，

當時，函數(shù)有極大值．

說明：在確定極值時，只討論滿足的點附近的導數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的．在函數(shù)定義域內(nèi)不可導的點處也可能存在極值．本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導，但在這些點處左右兩側(cè)異號，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點處仍取得極值．從定義分析，極值與可導無關(guān)．

根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值

例　 已知在時取得極值，且．

1． ；2．

分析：利用求導的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定．在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導的點．這兩類點就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點”．

解：1．

令，解得，但也可能是極值點．

當或時，，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；

當時，，

∴函數(shù)在(0，2)上是減函數(shù)．

∴當時，函數(shù)取得極大值，

當時，函數(shù)取得極小值．

3．函數(shù)的定義域為R．

令，得．

當或時，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當時，，

∴函數(shù)在(－1，1)上是增函數(shù)．

∴當時，函數(shù)取得極小值，

當時，函數(shù)取得極大值

說明：思維的周密性是解決問題的基礎(chǔ)，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性．解答本題時應注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．

復雜函數(shù)的極值

例 　求下列函數(shù)的極值：

2．函數(shù)定義域為R．

令，得或．

當或時，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當時，，

∴函數(shù)在(0，2)上是增函數(shù)．

∴當時，函數(shù)取得極小值，

當時，函數(shù)取得極大值．

1．；2．；3．

分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值．

解：1．函數(shù)定義域為R．

令，得．

當或時，，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；

當時，，

∴函數(shù)在(－2，2)上是減函數(shù)．

∴當時，函數(shù)有極大值，

當時，函數(shù)有極小值

4．函數(shù)定義域為，當時，

令，解得，∴，

又，∴

說明：對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應開區(qū)間內(nèi)可導，求上最值可簡化過程，即直接將極值點與端點的函數(shù)值比較，即可判定最大(或最小)的函數(shù)值，就是最大(或最小)值．解決這類問題，運算欠準確是普遍存在的一個突出問題，反映出運算能力上的差距．運算的準確要依靠運算方法的合理與簡捷，需要有效的檢驗手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅實的基礎(chǔ)上形成運算能力，解決運算不準確的弊�。�

求兩變量乘積的最大值

例　 已知為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值．

分析：題中有兩個變量x和y，首先應選擇一個主要變量，將表示為某一變量(x或y或其它變量)的函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時根據(jù)題設條件確定變量的取值范圍，再利用導數(shù)(或均值不等式等)求函數(shù)的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

設

當時，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函數(shù)的最大值為．

即的最大值為．

解法二：由得，

設，

∴，設，

則

令，得或．

，此時

∴

即當時，

說明：進行一題多解訓練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．

3．．

令，即，解得

當時，，當時，．

∴函數(shù)在點處取得極小值，也是最小值為

即．