21.(2009江西卷文)數列的通項，其前n項和為.

(1) 求; 　　　　　　

(2) 求數列{}的前n項和.

解: (1) 由于,故

,

故　 　　　　()

(2)

兩式相減得

故　　

20.(2009安徽卷文)已知數列{} 的前n項和，數列{}的前n項和

(Ⅰ)求數列{}與{}的通項公式；

(Ⅱ)設，證明：當且僅當n≥3時，＜ 　　　　　

[思路]由可求出，這是數列中求通項的常用方法之一，在求出后，進而得到，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。

[解析](1)由于

當時,

又當時

數列項與等比數列,其首項為1,公比為 　　　　　

(2)由(1)知

由即即

又時成立,即由于恒成立. 　　　　　

因此,當且僅當時,

19.(2009全國卷Ⅱ文)已知等差數列{}中，求{}前n項和. 　　　

解析：本題考查等差數列的基本性質及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。

解：設的公差為，則 　　

即

解得

因此

18.(2009山東卷文)等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的　 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上.　　 　

(1)求r的值；　　　

(11)當b=2時，記 　　　求數列的前項和

解:因為對任意的,點，均在函數且均為常數)的圖像上.所以得,

當時,,　　 　

當時,,

又因為{}為等比數列,　 所以,　 公比為,　　 所以

(2)當b=2時，,　　

則

相減,得

所以

[命題立意]:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用錯位相減法求出一等比數列與一等差數列對應項乘積所得新數列的前項和.

17.(2009北京文)設數列的通項公式為. 數列定義如下：對于正整數m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

(Ⅰ)若，求；

(Ⅱ)若，求數列的前2m項和公式；

(Ⅲ)是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

[解析]本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、

分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題.

解(Ⅰ)由題意，得，解，得. 　　　

∴成立的所有n中的最小整數為7，即.

(Ⅱ)由題意，得，

對于正整數，由，得.

根據的定義可知

當時，；當時，.

∴

.

(Ⅲ)假設存在p和q滿足條件，由不等式及得.

∵,根據的定義可知，對于任意的正整數m 都有

，即對任意的正整數m都成立.

　當(或)時，得(或)，

　這與上述結論矛盾！

當，即時，得，解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范圍分別是，..

16.(2009浙江文)設為數列的前項和，，，其中是常數．

　 (I) 求及；

　 (II)若對于任意的，，，成等比數列，求的值．

解(Ⅰ)當，

()

　經驗，()式成立，　　　

(Ⅱ)成等比數列，，

即，整理得：，

對任意的成立，　　　　　

15.(2009遼寧卷理)等差數列的前項和為，且則 　　　　　　　　

解析 ∵S_n＝na₁+n(n－1)d　　 　

　　　　 ∴S₅＝5a₁+10d,S₃＝3a₁+3d

　 　　　∴6S₅－5S₃＝30a₁+60d－(15a₁+15d)＝15a₁+45d＝15(a₁+3d)＝15a₄

答案

_{三、解答題}

14.(2009全國卷Ⅱ理)設等差數列的前項和為，若則　　　　　

解析 為等差數列，

答案　 9

13.(2009全國卷Ⅱ文)設等比數列{}的前n項和為。若，則=　　 ×　　　　

答案：3

解析：本題考查等比數列的性質及求和運算，由得q³=3故a₄=a₁q³=3

12.(2009北京文)若數列滿足：，則　　　　　 ；前8項的和　　　　　 .(用數字作答)

答案　 225

.解析　 本題主要考查簡單的遞推數列以及數列的求和問題. 　　　屬于基礎知識、基本運算的考查.

，

易知，∴應填255.