15. 證明:(1),,.
由沿折疊后與重合,知,.
四邊形是矩形,且鄰邊相等.
四邊形是正方形. 3分
(2),且,四邊形是梯形. 4分
四邊形是正方形,,.
又點為的中點,.連接.
在與中,,,,
,. 6分
,,四邊形是平行四邊形.
...
四邊形是等腰梯形. 8分
注:第(2)小題也可過點作,垂足為點,證
14. 解:(1)36;(2)秒;
(3)當三點構(gòu)成直角三角形時,有兩種情況:
①當時,設點離開點秒,
作于,.
,,.
當時,點離開點秒.
②當時,設點離開點秒,
,.
.
...
當時,點離開點秒.
由①②知,當三點構(gòu)成直角三角形時,點離開點秒或秒.
13. (1),即,又,四邊形是平行四邊形.
(2分)
平分,, (3分)
又,,,,
四邊形是菱形. (4分)
(2)證法一:是中點,.
又,,, (5分)
, (6分)
,.
即,是直角三角形. (7分)
證法二:連,則,且平分, (5分)
設交于.
是的中點,. (6分)
,是直角三角形. (7分)
12. 解法一:矩形中,,, (2分)
. (4分)
,,. (5分)
. (6分)
解法二:矩形中,. (2分)
,,. (4分)
11. 解:(1)證明:∵四邊形為正方形,∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90° 2分
∵CG=CE,∴△BCG≌△DCE. ………………4分
(2)答:四邊形E′BGD是平行四邊形
理由:∵△DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′
∴CE=AE′,∵CG=CE,∴CG=AE′,∵AB=CD,AB∥CD,
∴BE′=DG,BE′∥DG,………………6分
∴四邊形E′BGD是平行四邊形 ………………8分
10. .甲題:
(1)證明:, 2分
, 3分
又,. 4分
(2)解:
, 5分
由(1)知,
, 6分
設,則,
則有, 8分
即,
解得:或,
經(jīng)檢驗,或都是原方程的根,但不合題意,舍去.
故的長為1. 9分
9. 解:(1)作圖(略). 3分
注:本題作法較多,如:方法一,作的中垂線:方法二,以為圓心,為半徑畫弧,交于點.等等.
(2)如圖(1),為菱形,
平分, 5分
又,
在中,,
則, 6分
又分別是、的中點,
, 7分
故菱形的面積(cm2). 9分
(我感覺此題不正確,這樣能保證以E.F為圓心,以AE的長為半徑的弧交點一定在BC上嗎)
8. (1)解:由題意,有△BEF≌△DEF.
∴BF=DF. ……1分
如圖,過點A作AG⊥BG于點G.
則四邊形AGFD是矩形。
∴AG=DF,GF=AD=4.
在Rt△ABG和Rt△DCF種,
∵AB=DC,AG=DF,
∴Rt△ABG≌Rt△DCF.(HL)
∴BG=CF. ……2分
∴BG===2.
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6. ……2分
∴S梯形ABCD=. ……1分
(2)猜想:CG=(或). ……1分
證明:如圖,過點E作EH∥CG,交BC于點H.
則∠FEH=∠FGC.
又∠EFH=∠GFC,
∴△EFH∽△GFC.
∴
而FG=kEF,即.
∴ 即 ……1分
∵EH∥CG, ∴∠EHB=∠DCB.
而ABCD是等腰梯形,∴∠B=∠DCB.
∴∠B=∠EHB.∴BE=EH. ∴CG= ……1分
7.(1)證明:點是中點
1分
又,在延長線上,
, 3分
在與中 5分
6分
(2)四邊形是平行四邊形.理由如下: 7分
, 9分
四邊形是平行四邊形. 10分
6. 解:(1)過點G作GH⊥AD,則四邊形ABGH為矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由圖形的折疊可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°;∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25.
(2)由圖形的折疊可知四邊形ABGF≌四邊形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG,∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四邊形BGEF為平行四邊形,又∵EF=EG,∴平行四邊形BGEF為菱形;
連結(jié)BE,BE、FG互相垂直平分,在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6,∴AE=16,∴BE==8,∴BO=4,∴
FG=2OG=2=4。
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