4．選詞填空

put　　 recover　 regular　 relief　　 replace　 quit　 receive　 reserve　 react　 remove

1)　　　　 She _____ no support from her parents; she had to rely on herself.

2)　　　　 He’s in hospital, ______ from a heart attack.

3)　　　　 Our _______ opening hours are from 10 am to 7 pm. On weekends we close at 5 pm.

4)　　　　 The old houses will be torn down and ______ with a shopping mall.

5)　　　　 Emma is not behaving very reasonably nowadays. I think she’s ______ against her teacher’s strictness.

6)　　　　 I didn’t recognize Tom until he ______ his dark sunglasses.

7)　　　　 To our ______, the missing boy finally came back home.

8)　　　　 It’s fairly risky. Or to ________ it another way, don’t try this at home.

9)　　　　 These seats are _______ for special guests.

10)　　 Doctors have given him six months to live if he doesn’t _______ drinking.

3．單項(xiàng)選擇

1)　　　　 Lisa! I’m sorry --- I _______ recognize you --- you ________ your hair cut!

A. don’t; had　　　 B. didn’t; have had　 C. don’t; have had　 D. didn’t had

2)　　　　 The recording was __________. I can know exactly what happened at that time.

A. bad quality　　 B. good quality　　 C. of bad quality　 D. of good quality

3)　　　　 Buy vegetables _______ small quantities for your immediate use.

A. in　　 B. with　　 C. at　　 D. on

4)　　　　 Tanya, be __________! Our baby is sleeping and you may wake him up.

A. silent　　 B. still　　 C. quiet　 　D. noisy

5)　　　　 It remains ________ whether the operation was successful.

A. to be seen　　 B. to see　　 C. seeing　　 D. to have seen

6)　　　　 Australia’s unemployment ______ rose to 6.5% in February.

A. percent　　 B. rank　　 C. level　　 D. rate

7)　　　　 --- Can you see the sign on the door? --- Yes, it ________ “No Entry”.

A. reads　　 B. reflects　　 C. registers　 D. reports

8)　　　　 We regret _______ you that your application has not been successful.

A. informing　　 B. to inform　 C being informed　　 D. to have informed

9)　　　　 When the head teacher said someone didn’t obey the class discipline, we all knew whom he was ____________.

A. replying to　　 B. reacting to　　 C. referring to　　 D. relating to

10)　　 The terrible situation required that the manager ________ present.

A. be 　　　B. was　　 C. would be　 D. shall be

2．詞形轉(zhuǎn)換

1)　　　　 Alice read the letter with a __________ expression on her face. (puzzle)

2)　　　　 This part of the community needs to be protected from ______ prejudice. (race)

3)　　　　 Unexpectedly, he came to see me on a cold _______ day in October. (rain)

4)　　　　 I ______ that you are very busy, but could I talk to you for a few minutes? (realization)

5)　　　　 Tape ______ are widely used in English classes in China. (record)

6)　　　　 Be __________! You can’t expect her to do all the work on her own!(reason)

7)　　　　 Keep the file for future _________; it can be looked at in the future. (refer)

8)　　　　 My car’s quite old, but it’s still pretty ______________ (rely).

9)　　　　 It’s difficult to meet all the ________ of the strange customers. (require)

10)　　 Do something __________ before going to be --- read a book or take a hot bath. (relax)

1．單詞拼寫

1)　　　　 --- Three q______ of the money was spent on the program.　 --- 75%? Oh, my dear!

2)　　　　 Robin will take a general knowledge q_____________, and he’ll answer many difficult questions.

3)　　　　 Tracy works hard and makes r__________ progress in her studies.

4)　　　　 The PRC stands for the People’s R__________ of China.

5)　　　　 I have quite a good r___________ with my parents; we are very happy together.

6)　　　　 Frank’s dream of opening a restaurant became a r_________ in 1987. (現(xiàn)實(shí))

7)　　　　 Each child had to r____________ a poem to the class. (背誦)

8)　　　　 Thanks to the R_______ and Opening-up Policy, China’s economy has improved a lot. (改革)

9)　　　　 We take all the old bottles to be r______________ (循環(huán)).

10)　　 He donated money to set up schools in r__________ mountain areas. (偏遠(yuǎn)的)

解法二　 設(shè)S_x＝Ax²+Bx(x∈N)

①－②，得A(m²－n²)+B(m－n)＝n－m

∵m≠n　 ∴ A(m+n)+B=－1

故A(m+n)²+B(m+n)＝－(m+n)

即S_m+n＝－(m+n)

說明　 a₁，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒．解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè)S_x=Ax²+Bx．(x∈N)

[例14]　 在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n之值是多少？

解　 ∵S_{偶項(xiàng)}－S_{奇項(xiàng)}=nd

∴nd=90－75=15

又由a_2n－a₁＝27，即(2n－1)d=27

[例15]　 在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁＝25，S₉＝S₁₇，問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值．

解法一　 建立S_n關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值．

∵a₁=25，S₁₇＝S₉　 解得d＝－2

∴當(dāng)n=13時(shí)，S_n最大，最大值S₁₃＝169

解法二　 因?yàn)閍₁=25＞0，d＝－2＜0，所以數(shù)列{a_n}是遞減等

∵a₁＝25，S₉＝S₁₇

∴a_n=25+(n－1)(－2)=－2n+27

即前13項(xiàng)和最大，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得S₁₃=169．

解法三　 利用S₉=S₁₇尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系．

由題意S₉=S₁₇得a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a₁₇=0

而a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=a₁₂+a₁₅=a₁₃+a₁₄

∴a₁₃+a₁₄＝0，a₁₃=－a₁₄　 ∴a₁₃≥0，a₁₄≤0

∴S₁₃=169最大．

解法四　 根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)圖像，確定取最大值時(shí)的n．

∵{a_n}是等差數(shù)列

∴可設(shè)S_n＝An²+Bn

二次函數(shù)y=Ax²+Bx的圖像過原點(diǎn)，如圖3．2－1所示

∵S₉＝S₁₇，

∴取n=13時(shí)，S₁₃＝169最大

4．關(guān)于幾何概型：

(1)我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應(yīng)地改變?yōu)椤伴L度”、“體積”；

(2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決。

3．學(xué)好幾何概率對(duì)于解決后續(xù)均勻分布的問題有很大幫助。

2．有關(guān)幾何概率的題目難度不大，但需要準(zhǔn)確理解題意，利用圖形分析問題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關(guān)問題；

1．幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來新增考察內(nèi)容之一；

題型1：線長問題

例1．一個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣做的，將一條5米長的繩子隨機(jī)地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發(fā)生的概率。

分析：類似于古典概型，我們希望先找到基本事件組，既找到其中每一個(gè)基本事件。注意到每一個(gè)基本事件都與唯一一個(gè)斷點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，若把離繩AB首尾兩端1的點(diǎn)記作M、N，則顯然事件T所對(duì)應(yīng)的基本事件所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段MN上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個(gè)數(shù)/總的基本事件個(gè)數(shù)，但這兩個(gè)數(shù)字(T包含的基本事件個(gè)數(shù)、總的基本事件個(gè)數(shù))在引例1中是無法找到的，不過用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率似乎也是合理的。

解：P(T)=3/5。

例2．(磁帶問題)喬和摩進(jìn)行了一次關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動(dòng)的談話。然而談話卻被監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了下來，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯(cuò)了鍵，并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問如果這10秒鐘長的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？

解析：將3O分鐘的磁帶表示為長度為3O的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動(dòng)有關(guān)的談話的區(qū)間為 r,如右圖所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時(shí)間位于該區(qū)間內(nèi)或始于該區(qū)間左邊的任何點(diǎn)。 因此事件r是始于R線段的左端點(diǎn)且長度為的事件。因此,。

例3．假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時(shí)間不超過 3 分鐘的概率 ？

　解：以兩班車出發(fā)間隔 ( 0，10 )　 區(qū)間作為樣本空間 S，乘客隨機(jī)地到達(dá)，即在這個(gè)長度是 10 的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問題。

要使得等車的時(shí)間不超過 3 分鐘，即到達(dá)的時(shí)刻應(yīng)該是圖中 A 包含的樣本點(diǎn)，

p=== 0.3 。

題型2：面積問題

例4．投鏢游戲中的靶子由邊長為1米的四方板構(gòu)成，并將此板分成四個(gè)邊長為1/2米的小方塊。實(shí)驗(yàn)是向板中投鏢，事件A表示投中陰影部分為成功，考慮事件A發(fā)生的概率。

分析與解答：類似于引例1的解釋，完全可以把此引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯(lián)系在一起，既事件組中的每一個(gè)基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的。這一點(diǎn)我們完全可以用引例1的方法驗(yàn)證其正確性。

解析：P(A)=(1/2)²/1²=1/4。

例5．(CB對(duì)講機(jī)問題)(CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫)兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3:0O時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時(shí)他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？

解：設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離，

于是

則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x,y),這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置， 他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生(如右圖)因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式

的數(shù)對(duì)組成，此不等式等價(jià)于

右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方米公里，而事件的面積為

，

于是有。

例6．(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板．邊長為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè)，投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓，圓心在靶的中心，當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)．可得到一個(gè)大餡餅；當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶，并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度，即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上，試求一顧客將嬴得：

(a)一張大餡餅，

(b)一張中餡餅，

(c)一張小餡餅，

(d)沒得到餡餅的概率

解析：我們實(shí)驗(yàn)的樣本空間可由一個(gè)邊長為18的正方形表示。右圖表明R和子區(qū)域r₁、r₂、r₃和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件。

；

；

；

。

題型3：體積問題

例7．(1)在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。

解析：由于取水樣的隨機(jī)性,所求事件的概率等于水樣的體積與總體積之比，即2/400=0.005。

(2)如果在一個(gè)5萬平方公里的海域里有表面積達(dá)40平方公里的大陸架貯藏著石油,假如在這海領(lǐng)域里隨意選定一點(diǎn)鉆探,問鉆到石油的概率是多少?

解析：由于選點(diǎn)的隨機(jī)性,可以認(rèn)為該海域中各點(diǎn)被選中的可能性是一樣的,因而所求概率自然認(rèn)為等于貯油海域的面積與整個(gè)海域面積之比,即等于40/50000=0.0008。

例8．在線段[0，1]上任意投三個(gè)點(diǎn)，問由0至三點(diǎn)的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大。

解析：設(shè)0到三點(diǎn)的三線段長分別為x,y,z，即相應(yīng)的　　　　 z

右端點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,z，顯然_。這三條線　　　　　 1　　　　　　　 C

段構(gòu)成三角形的充要條件是：　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　 D

。

　　 在線段[0，1]上任意投三點(diǎn)x,y,z。與立方體　　　　　　　　　　　　　　　　　

0　　　　　　　 1　　 y

，，中的點(diǎn)　　　　　 1　　　　　　　　　　　

一一對(duì)應(yīng)，可見所求“構(gòu)成三角形”的概率，等價(jià)于x　　　　　　　 B

邊長為1的立方體T中均勻地?cái)S點(diǎn)，而點(diǎn)落在

區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所圍成的區(qū)域G中的概率。由于 ，

由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大。

題型4：隨機(jī)模擬

例9．隨機(jī)地向半圓(為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率.

　 　解析：半圓域如圖

　　　　　　　　　　　　　 設(shè)‘原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于’

　　　　　　　　　　　　　 由幾何概率的定義

　　　　　　　　　　　　　 。

例10．隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率.

　 　解析：，不等式確定平面域。

‘’則發(fā)生的充要條件為不

等式確定了的子域，

故：

例11. 曲線y=-x²+1與x軸、y軸圍成一個(gè)區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個(gè)正方形，向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，利用計(jì)算機(jī)來模擬這個(gè)試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。

答案：如下表，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例0~1之間的隨機(jī)數(shù)，它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)。如果一個(gè)點(diǎn)(x,y)滿足y≤-x²+1，就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最后一列相應(yīng)地就填上1，否則填0。