Question

如圖中，ABCD是梯形，面積是1，已知

DF

FC

=

3

4

，

AE

EB

=

1

5

，

DC

AB

=

c

d

．問：

（1）三角形ECD的面積是多少？
（2）四邊形EHFG的面積是多少？

Answer 1

考點：三角形面積與底的正比關系

專題：平面圖形的認識與計算

分析：（1）設出梯形的高為h，即三角形的高，再利用梯形的面積公式和給出的梯形的面積，求出三角形的面積；
（2）過G作ZQ⊥AB與Q，交CD延長線與Z，過H作MN⊥AB與N，交DC與M，因為AB∥DC，所以QZ⊥DC，MN⊥DC，所以ZQ=MN=h，再利用相似三角形的對應邊的比，分別求出積S_△DEC、S_△DGF、S_△FHC的面積，進而求出四邊形EHFG的面積．

解答： 解：（1）設梯形ABCD的AB和CD之間的高是h，
則

DC

AB

=

c

d

所以AB=

d

c

DC
因為梯形ABCD的面積是1，
所以

1

2

（AB+CD）×h=1，

1

2

×（

d

c

DC+DC）×h=1，
所以DC×h=

2c

c+d

所以S_△ECD=

1

2

×DC×h=

1

2

×

2c

c+d

=

c

c+d

；
答：三角形ECD的面積是

c

c+d

．

（2）過G作ZQ⊥AB與Q，交CD延長線與Z，過H作MN⊥AB與N，交DC與M，
因為AB∥DC，
所以QZ⊥DC，MN⊥DC，
所以ZQ=MN=h，
因為

DF

CF

=

3

4

，

AE

BE

=

1

5

，AB=

d

c

DC，
所以DF=

3

7

DC，CF=

4

7

DC，
AE=

1

6

AB=

1

6

×

d

c

DC，BE=

5

6

×

d

c

DC=

5d

6c

DC，
因為DC∥AB，
所以△DGF∽△EGA，
所以

DF

AE

=

GZ

GQ

=

3DC 7

dDC 6

=

18c

7d

，
因為GZ+GQ=ZQ=h，
所以GZ=

18c

7d+18c

h，
所以S_△DGF=

1

2

×DF×GZ=

1

2

×

3

7

DC×

18c

7d+18c

CDh=

27c

7(18c+7d)

×

2c

c+d

=

54c2

7(18c+7d)(c+d)

同理：

CF

BE

=

HM

HN

=

4CD 7

5AB 6

=

4CD 7

5 6 × dCD c

=

24c

35d

，
所以HM=

24c

35d+24c

h，
所以S_△FHC=

1

2

×CF×HM=

1

2

×

4

7

CD×

24c

35d+24c

h=

48c

7(35d+24c)

×CDh=

48c

7(35d+24c)

×

2c

c+d

=

96c2

7(35d+24c)(c+d)

所以四邊形EHFG的面積=S_△DEC-S_△DGF-S_△FHC=

c

c+d

-

54c2

7(18c+7d)(c+d)

-

96c2

7(35d+24c)(c+d)

=

3024c2d+1715d2c

7(18c+7d)(35d+24c)(c+d)

．
答：四邊形EHFG的面積是

3024c2d+1715d2c

7(18c+7d)(35d+24c)(c+d)

．

點評：此題考查了三角形和梯形的面積公式即相似三角形的對應邊的比相等．