Question

有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有個(gè)編號(hào)，他們的編號(hào)是1號(hào)到15號(hào)．1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)接著說：“這個(gè)數(shù)能被3整除”…依此下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)一一作了驗(yàn)證：只有兩個(gè)同學(xué)（他們的編號(hào)是連續(xù)的）說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)．問：
（1）說的不對(duì)的兩位同學(xué)他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)？
（2）如果1號(hào)同學(xué)寫的自然數(shù)是一個(gè)五位數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問題

專題：整除性問題

分析：（1）首先可以判定編號(hào)是2、3、4、5、6、7號(hào)的同學(xué)說的一定都對(duì)．不然，其中說得不對(duì)的編號(hào)乘以2后所得編號(hào)也將說得不對(duì)．這個(gè)數(shù)能同時(shí)被2、5，3，4和2、7整除，則一定能被10、12、14整除，從而編號(hào)為10、12、14的同學(xué)說得對(duì)．由“兩個(gè)連續(xù)編號(hào)的同學(xué)說得錯(cuò)“知，11，13，15號(hào)也說得對(duì)．因此，說的不對(duì)的兩個(gè)同學(xué)的編號(hào)是8和9．
（2）這個(gè)數(shù)是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數(shù)，因?yàn)閇2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=60060．因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而上述12個(gè)數(shù)的其它公倍數(shù)不是五位數(shù)，所以1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)就是60060．

解答： 解：（1）根據(jù)2號(hào)～15號(hào)同學(xué)所述結(jié)論，將合數(shù)4，6，（15分）解質(zhì)因數(shù)后，由1號(hào)同學(xué)驗(yàn)證結(jié)果，進(jìn)行分析推理得出問題的結(jié)論．
4=2²，6=2×3，8=2³，9=3²，10=2×5，12=2²×3，14=2×7，15=3×5．
由此不難斷定說得不對(duì)的兩個(gè)同學(xué)的編號(hào)是8與9兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)（可逐次排除，只有8與9滿足要求）．
（2）1號(hào)同學(xué)所寫的自然數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個(gè)數(shù)整除，也就是它們的公倍數(shù)．它們的最小公倍數(shù)是2²×3×5×7×11×13=60060．
因?yàn)?0060是一位五位數(shù)，而這12個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號(hào)同學(xué)寫的五位數(shù)是60060．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生數(shù)的整除特征，同時(shí)解答此題要有較強(qiáng)的分析推理能力．本題難度較高，應(yīng)認(rèn)真分析．