Question

德國數(shù)學康托爾構造的這個圖形叫分形，稱做康托爾集．從長度為1的線段開始，康托爾取走其中間三分之一而達到第一階段；然后從每一個余下的三分之一線段中取走其中間三分之一而達到第二階段．無限量地重復這一過程，余下的無窮點集就稱做康托爾集．圖中是康托爾集的最初幾個階段，當達到第六個階段時，余下的所有線段的長度之和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：易得第一次操作后余下的線段為1-

1

3

，進而得到每次操作后有幾個1-

1

3

的積，即可得到第六次操作時，余下的所有線段的長度之和．

解答： 解：第一次操作后余下的線段之和為1-

1

3

，
第二次操作后余下的線段之和為（1-

1

3

）²，
…
第六次操作后余下的線段之和為（1-

1

3

）⁶=

64

729

，
故答案為：

64

729

．

點評：考查圖形的變化規(guī)律；得到第n次操作后有n個

2

3

是解決本題的關鍵．