Question

請(qǐng)比較1+

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

2007

2008

與

2

1

+

3

2

+

4

3

+

5

4

+…+

1984

1983

的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：分?jǐn)?shù)的大小比較

專(zhuān)題：計(jì)算問(wèn)題（巧算速算）

分析：先把算式利用

n

n+1

=1-

1

n+1

化簡(jiǎn)為：1+

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

2007

2008

=1+1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

2008

=2008-（

1

2

+

1

3

+…+

1

2008

）

2

1

+

3

2

+

4

3

+

5

4

+…+

1984

1983

=1+1+1+

1

2

+1+

1

3

+…1+

1

1983

=1984+

1

2

+

1

3

+…

1

1983

；
所以：
1+

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

2007

2008

-（

2

1

+

3

2

+

4

3

+

5

4

+…+

1984

1983

）
=2008-1984-（

1

2

+

1

3

+…

1

2008

+

1

2

+

1

3

+…

1

1983

）
然后利用：“歐拉公式”：

1

2

+

1

3

+…

1

2008

=ln（2008）+C-1=7.1821，（其中C為歐拉常數(shù) 數(shù)值是0.5772…）．

1

2

+

1

3

+…

1

1983

=ln（1983）+C-1=7.1696，看這個(gè)差如果大于0，第一個(gè)算式結(jié)果答，如果等于0，這兩個(gè)算式結(jié)果相同，差比0小，說(shuō)明后面的算式結(jié)果大．

解答： 解：1+

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

2007

2008

=1+1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

2008

=2008-（

1

2

+

1

3

+…+

1

2008

）

2

1

+

3

2

+

4

3

+

5

4

+…+

1984

1983

=1+1+1+

1

2

+1+

1

3

+…1+

1

1983

=1984+

1

2

+

1

3

+…

1

1983

所以：
1+

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

2007

2008

-（

2

1

+

3

2

+

4

3

+

5

4

+…+

1984

1983

）
=2008-1984-（

1

2

+

1

3

+…

1

2008

+

1

2

+

1

3

+…

1

1983

）
=24-（8.1821-1+8.1696-1）
=24-14.3517
=9.6483＞0
答：1+

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

2007

2008

＞

2

1

+

3

2

+

4

3

+

5

4

+…+

1984

1983

點(diǎn)評(píng)：本題考查分?jǐn)?shù)運(yùn)算的巧算，注意根據(jù)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)去巧妙計(jì)算即可．