Question

17．從1，2，3，…，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為108．

Answer 1

分析 被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66…，中只要取到兩個(gè)相鄰的，這兩個(gè)數(shù)的差為13，如果沒有兩個(gè)相鄰的數(shù)，則沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個(gè)數(shù)的差為13，對于任意一條長度為x的序列，都最多能取$x-[{\frac{x}{2}}]$個(gè)數(shù)，即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè)
基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長度為$[{\frac{n}{13}}]$或$[{\frac{n}{13}}]+1$，兩個(gè)長度差為1的序列，能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)也不會(huì)超過1，所以能使57個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)都不等于13，則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，當(dāng)n取最小值時(shí)在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過1，那么13個(gè)序列有8個(gè)分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)分配了5個(gè)數(shù)，這13個(gè)序列8個(gè)長度為8，5個(gè)長度為9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，那么n的最大值為108．

解答 解：基于以上分析，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長度為$[{\frac{n}{13}}]$或$[{\frac{n}{13}}]+1$，兩個(gè)長度差為1的序列，能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)也不會(huì)超過1，所以能使57個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)都不等于13，則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，當(dāng)n取最小值時(shí)在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過1，那么13個(gè)序列有8個(gè)分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)分配了5個(gè)數(shù)，這13個(gè)序列8個(gè)長度為8，5個(gè)長度為9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，那么n的最大值為108．
故答案為：108．

點(diǎn)評(píng) 差一定的情況下，我們就可以用一個(gè)數(shù)來確定另一個(gè)數(shù)，只要一個(gè)數(shù)大另一個(gè)隨之大，只要一個(gè)小另一個(gè)隨之�。�