Question

【題目】如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F．

（1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=12，求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在（2）中的條件下，過(guò)點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=（x＞0）（2）OA=C（5，）（3）P1（，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函數(shù)解析式：y=（x＞0）；

（2）設(shè)OA=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S△AOH=aa=a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四邊形AOBC=24，

∵F為BC的中點(diǎn)，

∴S△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S△BMF=BMFM=aa=a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，

∵點(diǎn)A，F都在y=的圖象上，

∴S△AOH=k，

∴a2=6+a2，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S平行四邊形AOBC=OBAH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5，）；

（3）存在三種情況：

當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P1（，），P2（﹣，），

當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，P3（，），

當(dāng)∠POA=90°時(shí)，P4（﹣，）．