Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，AD是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線，交DA的延長線于點E，連接BD，且∠E＝∠DBC．

（1）求證：DB平分∠ADC；

（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，證明，可得，則；

（2）證明，，則，可求出，則答案可求出．

解：（1）證明：連接OB，

∵BE為⊙O的切線，

∴OB⊥BE，

∴∠OBE＝90°，

∴∠ABE+∠OBA＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∴∠ABE+∠OAB＝90°，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠OAB+∠ADB＝90°，

∴∠ABE＝∠ADB，

∵四邊形ABCD的外接圓為⊙O，

∴∠EAB＝∠C，

∵∠E＝∠DBC，

∴∠ABE＝∠BDC，

∴∠ADB＝∠BDC，

即DB平分∠ADC；

（2）解：∵tan∠ABE＝，

∴設(shè)AB＝x，則BD＝2x，

AD＝＝x，

∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，

∴△AEB∽△BED，

∴BE2＝AEDE，且＝＝，

設(shè)AE＝a，則BE＝2a，

∴4a2＝a（a+x），

∴a＝x，

∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，

<>∴△AEB∽△CBD，

∴，

∴＝，

解得＝3，

∴AD＝x＝15，

∴OA＝．