Question

已知ABCD為正方形，E、F分別是AD、CD上的一點，∠EBF=45°，△EFD周長為2，求正方形邊長．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先證明△ABF≌△CBG，進而證明∠EBG=∠ABF+∠EBC=45°；再次證明△EBG≌△EBF得到EF=EG=AF+EC，結合△EFD周長為2，即可解決問題．

解答：解：如圖，延長DC到G，使CG=AF；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°；
在△ABF與△CBG中，

AF=CG ∠A=∠BCG AB=BC

，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴∠ABF=∠CBG，BF=BG；
∴∠GBE=∠ABF+∠EBC；
∵∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠EBC=90°-45°=45°，
∴∠EBG=∠EBF；
在△EBG與△EBF中，

BF=BG ∠EBF=∠EBG BE=BE

，
∴△EBG≌△EBF（SAS），
∴EF=EG=AF+EC，
∴△EFD周長=2AD=2，
∴正方形的邊長為1．

點評：該題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定及其性質等知識的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．