Question

已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點F，⊙O的切線DE與邊AB相交于點E，且AE=3EB．
（1）求證：△ADE∽△CDF；
（2）當(dāng)CF：FB=1：2時，求⊙O與?ABCD的面積之比．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y，根據(jù)相似得出

3y

3x

=

x

4y

，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2

3

y，分別求出⊙O的面積和四邊形ABCD的面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DFC=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DFC=90°，
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵CF：FB=1：2，
∴設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，
∵AE=3EB，
∴設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，
∵△ADE∽△CDF，
∴

AE

AD

=

CF

CD

，
∴

3y

3x

=

x

4y

，
∵x、y均為正數(shù)，
∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：DF=

DC2-FC2

=

(4y)2-(2y)2

=2

3

y，
∴⊙O的面積為π•（

1

2

DC）²=

1

4

π•DC²=

1

4

π（4y）²=4πy²，
四邊形ABCD的面積為BC•DF=6y•2

3

y=12

3

y²，
∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為4πy²：12

3

y²=π：3

3

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．