Question

在菱形ABCD中點(diǎn)EF分別在BC、CD上，AE交BD于G，連結(jié)AF、EF，EF∥BD．
（1）求證：∠BAE=∠DAF；
（2）若又有GF∥BC，求BG：DG的值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過全等三角形的判定定理SAS證得△ABE≌△ADF，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等：∠BAE=∠DAF；
（2）設(shè)BG=x，GD=y，DF=a，F(xiàn)C=b，則BE=GF=a，AD=DC=a+b．根據(jù)平行線分線段成比例來求BG：DG的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF，
∵EF∥BD，
∴CE=CF，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠ABE=∠ADF BE=DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF；

（2）設(shè)BG=x，GD=y，DF=a，F(xiàn)C=b，則BE=GF=a，AD=DC=a+b
∵GF∥BC，
∴BG：GD=CF：DF，
∴X：Y=b：a
∵BE∥AD，
∴BG：GD=BE：AD，
∴X：Y=a：（a+b）
∴b：a=a：（a+b）
∴a²-ab-b²=0
（

b

a

）²-

b

a

-1=0
∴

b

a

=

5-1

2

5 +1

2

或（

b

a

=

- 5 -1

2

舍棄）
∴BG：DG=（

5

-1）：2．

點(diǎn)評(píng)：本題是簡(jiǎn)單的推理證明題，主要考查菱形的邊的性質(zhì)，同時(shí)綜合利用全等三角形的判定方法及平行線分線段成比例的性質(zhì)．