Question

【題目】如圖1，直線l：y＝﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為直徑作⊙M，點P為線段OA上一動點（與點O、A不重合），作PC⊥AB于C，連結BP并延長交⊙O于點D．

（1）求點A，B的坐標和tan∠BAO的值；

（2）設＝x，tan∠BPO＝y．

①當x＝1時，求y的值及點D的坐標；

②求y關于x的函數(shù)表達式；

（3）如圖2，連接OC，當點P在線段OA上運動時，求OCPD的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點A、B的坐標分別為：（8，0）、（0，4）；；（2）①y＝，點D的坐標為（，﹣）；②y＝；（3）當x＝4時，OCPD最大值為

【解析】

（1）對于直線l：y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝8，求出點A、B的坐標，即可求解；

（2）①當x＝1時，則BC＝AC，PB＝PA＝，進而確定直線BP的表達式；根據DM是圓的半徑，即可求出點D的坐標；

②AB＝AC+BC，求得PA＝，即可求解；

（3）證明△OAC∽△ODP，利用二次函數(shù)求最大值的方法，即可求解．

解：（1）對于直線l：y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝8，

故點A、B的坐標分別為：(8，0)、（0，4）；

∴tan∠BAO＝＝＝；

（2）由點A、B的坐標得：AB＝＝4，則圓的半徑r＝2，

①如圖1，當x＝1時，則BC＝AC，

又∵PM⊥AB，

∴AM＝BM＝AB＝2/span>，

∵tan∠BAO＝＝＝，則cos∠BAO＝，

PB＝PA＝＝＝5，

OP＝OA﹣AP＝8﹣5＝3，故點P(3，0)，

在Rt△BOP中，y＝tan∠BPO＝＝；

設直線BP的表達式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線BP的表達式為：y＝﹣x+4，

設點D的坐標為：(m，﹣m+4)，

∵點M是AB的中點，則其坐標為：（4，2），

∵DM是圓的半徑，

∴MD＝(m﹣4)2+(﹣m+4﹣2)2＝(2)2，

解得：m＝0或（舍去0），

故m＝，

故點D(，﹣)；

故y＝，點D的坐標為(，﹣)；

②在△Rt△ACP中，AC＝＝PA，

∵＝x，則BC＝xAC，

∵AB＝AC+BC＝PA+PAx＝4，

∴PA＝，

∵OP＝OA﹣PA＝4﹣，

y＝tan∠BPO＝＝＝；

（3）如圖2，連接OD、OC，

∵∠BOA＝90°，∠BCP＝90°，

∴O、P、C、B四點共圓，

∴∠COP＝∠CBP，

而∠CBP＝∠AOD，

∴∠COP＝∠AOD，

而∠BDO＝∠BAO，

∴△OAC∽△ODP，

∴，即OCPD＝ACOP，

設PA＝x，則OP＝8﹣x，

在Rt△ACP中，AC＝APcos∠BAO＝x＝x，

∴OCPD＝ACOP＝x(8﹣x)＝﹣x2+x，

∵﹣＜0，故OCPD有最大值，

當x＝4時，OCPD最大值為．