Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑.

（1）如圖a，點(diǎn)D為 的中點(diǎn)，當(dāng)弦BD=AC時，求∠A.

（2）如圖b，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，當(dāng)AB=6，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)時，求OE的長.

（3）如圖c，點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)（不與A、C重合），若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，探求BD、AD、CD之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你探求的結(jié)論，不要求證明.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）；（3）BD－AD=CD

【解析】

（1）連接OC，由BD=AC證明，進(jìn)一步證明C為的中點(diǎn)，從而可證∠A=∠COB=××180°=30°；

（2）連結(jié)OD，BC，證明△DEF≌△BEC，分別OD，OF，BC，DF，AC以及EF的長，

在Rt△OFE中運(yùn)用勾股定理即可求得OE=；

（3）連接BC，可證明∠BAC=∠BDC=45°，過點(diǎn)C作CF⊥CD交BD于點(diǎn)F，證明△ACD≌△BCF，根據(jù)BD=BF+DF可得結(jié)論.

(1) 連結(jié)OC

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，

∴

∵BD=AC

∴

∴，即點(diǎn)C為的中點(diǎn).

∴

∴∠A=∠COB=××180°=30°.

(2）連結(jié)OD，BC.

∵AB為⊙O的直徑,

∴∠C=90ｏ

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，半徑OD所在的直線為⊙O的對稱軸

∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為C

∴OD⊥AC，OD分AC,即：AF=CF，

∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，

∴BE=DE，

在△DEF和△BEC中

∴△DEF≌△BEC

∴CE=EF, BC=DF

∵AO=BO, AF=CF

∴OF=BC=DF ，

又AB=6，

∴OD=3

∴OF=1, BC=DF=2

在Rt△ABC中，AB=6，BC=2,由勾股定理求得AC=4，

∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為FC的中點(diǎn)

∴EF=，

在Rt△OFE中，EF=，OF=1,由勾股定理求得OE=

（3）BD、AD、CD之間的關(guān)系為：BD－AD=CD

連接BC，

∵AB是直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，

∴∠ACB=90°,AC=BC，

∴∠BAC=∠BDC=45°，

過點(diǎn)C作CF⊥CD交BD于點(diǎn)F，

∴△DCF是等腰直角三角形，

∴CD=CF，DF=CD，

∵∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF，

又AC=BC，CD=CF

∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF

∵BD=BF+DF

∴BD=AD+CD，即BD－AD=CD.