【題目】如圖1,在中,,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接.將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)時(shí),____________;②當(dāng)時(shí),___________.
(2)拓展探究試判斷:當(dāng)時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.
(3)問(wèn)題解決
繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng).
【答案】(1)①;②;(2)的大小不變,證明見(jiàn)解析;(3)BD=或
【解析】
(1)①根據(jù)中點(diǎn)的定義和勾股定理求出BD、AC和AE,從而求出結(jié)論;
②畫(huà)出圖形,求出BD和AE即可求出結(jié)論;
(2)利用相似三角形的判定定理證出△ECA∽△DCB,從而證出結(jié)論;
(3)根據(jù)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)E落在AB上分類討論,分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形,然后求出AE的長(zhǎng),最后根據(jù)(2)的結(jié)論即可求出結(jié)論.
解:(1)①當(dāng)時(shí),
∵在中,,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),
∴BD=CD=,AC==
∴AE=CE=
∴
故答案為:;
②當(dāng)時(shí),如下圖所示
AE=AC+CE=,BD=BC+CD=6
∴
故答案為:;
(2)當(dāng)時(shí),的大小不變,證明如下
∵
∴△ECA∽△DCB
(3)(i)當(dāng)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如下圖所示
在Rt△BCE中,CE=,BC=4
BE=
∴AE=AB+BE=10
∵
∴BD=;
(ii)當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時(shí),如下圖所示
在Rt△BCE中,CE=,BC=4
BE=
∴AE=AB-BE=6
∵
∴BD=;
綜上:BD=或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】實(shí)踐操作
如圖1,將矩形紙片沿對(duì)角線翻折,使點(diǎn)落在矩形所在平面內(nèi),和相交于點(diǎn),連接.
解決問(wèn)題
(1)在圖1中,①和的位置關(guān)系為__________;②將剪下后展開(kāi),得到的圖形是_____;
(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí),如圖2所示,結(jié)論①和結(jié)論②是否成立,若成立,請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
拓展應(yīng)用
(3)小紅沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片,發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形,沿對(duì)稱軸再次折疊后,得到的仍是軸對(duì)稱圖形,則小紅折疊的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀理解:
圓是最完美的圖形,它具有一些特殊的性質(zhì):同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半……;先構(gòu)造“輔助圓”,再利用圓的性質(zhì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,往往能化隱為顯、化難為易.
解決問(wèn)題:
如圖,點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,,點(diǎn)是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)使的點(diǎn)有_________個(gè);
(2)若點(diǎn)在的負(fù)半軸上,且,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)為銳角時(shí),設(shè),若點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),滿足條件的點(diǎn)有4個(gè),求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全民健身的今天,散步運(yùn)動(dòng)是大眾喜歡的活動(dòng)項(xiàng)目。家住同一小區(qū)的甲乙兩人每天都在同一條如圖1的陽(yáng)光走道上來(lái)回散步.某天,甲乙兩人同時(shí)從大道的A端以各自的速度勻速在大道上散步健身,步行一段時(shí)間后,甲接到消息有同事在出發(fā)地等他商量事務(wù)(甲收消息的時(shí)間忽略不計(jì)),于是甲按原速度返回,遇見(jiàn)乙后用原來(lái)的2倍速度跑步前往,此時(shí)乙仍按原計(jì)劃繼續(xù)散步運(yùn)動(dòng),4分鐘后甲結(jié)束了談話,繼續(xù)按原速度運(yùn)動(dòng).圖2是甲乙兩人之間的距離S(m)與他們出發(fā)后的時(shí)間x(分)之間函數(shù)關(guān)系的部分圖像,已知甲步行速度比乙快.
(1)由圖像可知,甲的速度為___ ___m/分;乙的速度為_____m/分.
(2)若甲處理完事情繼續(xù)按原速度散步,再次遇到乙后兩人稍作放松后就各自回家,根據(jù)已有信息,就甲乙兩人一起散步到第二次相遇的過(guò)程,請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全函數(shù)圖像,并寫(xiě)出所補(bǔ)的圖像中的S與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察等式:;;已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù):、、、、、.若,用含的式子表示這組數(shù)的和是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1,邊B1C1與CD交于點(diǎn)O,則圖中陰影部分的面積是( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn);
①連接BC、CD,設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E,△CDE的面積為S1, △BCE的面積為S2, 求的最大值;
②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得△CDF中的某個(gè)角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某文具商店銷售學(xué)習(xí)用品,已知某品牌鋼筆的進(jìn)價(jià)是20元,銷售過(guò)程發(fā)現(xiàn),每月銷量y支與銷售單價(jià)x元(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,且每支鋼筆的售價(jià)不低于進(jìn)價(jià),也不高于35元,下表是y與x之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
銷售單價(jià)x(元) | … | 22 | 24 | 30 | … |
月銷量y(只) | … | 92 | 84 | 60 | … |
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
(2)每支鋼筆的售價(jià)定為多少元時(shí),月銷售利潤(rùn)恰為600元?
(3)每支鋼筆的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤(rùn)最大?最大的月利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),ABCD的邊AB在x軸上,頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上,點(diǎn)C在第一象限.將△AOD沿y軸翻折,使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)E處,點(diǎn)B恰好為OE的中點(diǎn),DE與BC交于點(diǎn)F.若y=(k≠0)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且S△BEF=,則k的值為_____.
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