Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC相交于E，此時Rt△AEP∽Rt△ABC，點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，EP：EM=12：13．
（1）如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，求CM的長；
（2）如圖2，當(dāng)點E在邊AC上時，點E不與點A，C重合，設(shè)AP=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件得出AC的值，再根據(jù)CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值．
（2）本題需先根據(jù)已知條件EN，設(shè)出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出

PE

AP

=

BC

AC

，求出a的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并且能求出函數(shù)的自變量取值范圍．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，BC=30，AB=50，
∴AC=

AB2-BC2

=40，
∵EP：EM=12：13，
∴sin∠EMP=

12

13

，
∵CP⊥AB，
∴

AB•CP

2

=

AC•BC

2

，
∴

30×40

2

=

50×CP

2

，
∴CP=24，
∴CM=

CP

sin∠EMP

=26；
（2）∵sin∠EMP=

12

13

∴設(shè)EP=12a，
則EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴

PE

AP

=

BC

AC

，
∴

12a

x

=

x

16

，
∴x=16a，
∴a=

x

16

，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a
=50-21×

x

16

=50-

21

16

x，
∵當(dāng)E點與A點重合時，x=0．當(dāng)E點與C點重合時，x=32．
∴函數(shù)自變量取值范圍是：（0＜x＜32）．

點評：本題主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性質(zhì)，在解題時要注意知識的綜合應(yīng)是解本題的關(guān)鍵．