Question

我們曾學(xué)過“兩點之間線段最短”的知識，常可利用它來解決兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：
如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點，使得PA+PB最�。�
我們只要作點B關(guān)于l的對稱點B′，（如圖2所示）根據(jù)對稱性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+PB′最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時AP+PB′最小，因此連接AB′，與直線l的交點，就是要求的點P．
有很多問題都可用類似的方法去思考解決．
探究：
（1）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，P是BD上一動點．連結(jié)EP，CP，則EP+CP的最小值是

 

；
（2）如圖4，A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點B，C，組成△ABC，使△ABC周長最小；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）如圖5，平面直角坐標(biāo)系中有兩點A（6，4）、B（4，6），在y軸上找一點C，在x軸上找一點D，使得四邊形ABCD的周長最小，則點C的坐標(biāo)應(yīng)該是

 

，點D的坐標(biāo)應(yīng)該是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）C的對稱點是點A，則AE的長度就是EP+CP的最小值，據(jù)此即可求解；
（2）作D關(guān)于OM和ON的對稱點，則對稱點的連線與OM、ON的交點就是B、C；
（3）作點B關(guān)于y軸的對稱點B'，作A關(guān)于x軸的對稱點A’，求得直線A'B'的解析式，直線與y軸和x軸的交點就是C和D．

解答：解：（1）連接AE，則EP+CP的最小值=AE=

AB2+BE2

=

5

．
；
（2）如圖所示：

點B，C即為所求作的點；
（3）作點B關(guān)于y軸的對稱點B'，作A關(guān)于x軸的對稱點A’，
則B'的坐標(biāo)是（-4，6），A'的對稱點是（6，-4）．
設(shè)直線A'B'的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

-4k+b=6 6k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=2

，
則直線的解析式是：y=-x+2，
令x=0，解得：y=2，則C的坐標(biāo)是（0，2）；
令y=0，解得：x=2，則D的坐標(biāo)是（2，0）．

故答案是：（0，2），（2，0）．

點評：本題主要考查了最短線路問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩點之間，線段最短”，并且利用了正方形的軸對稱性．