Question

我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖所示的列表，此表揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．例如：
（a+b）⁰=1
（a+b）¹=a+b
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴…
①根據(jù)以上規(guī)律，寫出（a+b）⁵展開式：（a+b）⁵=

 

；
②用你所學(xué)的知識驗(yàn)證：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³；
③在楊輝三角形中，假設(shè)最上面的數(shù)字1作為第1行，將每一行的數(shù)字相加，則得數(shù)字串：

 

，請你根據(jù)這串?dāng)?shù)字的規(guī)律，寫出第m行的數(shù)字和：

 

，此外，此表還蘊(yùn)含很多數(shù)字規(guī)律，請你找一找，根據(jù)規(guī)律寫出并推導(dǎo)二項(xiàng)式（a+b）ⁿ（n＞3）的展開式中含a^n-2b²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算

專題：規(guī)律型

分析：①經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字組成的三角形是等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1，從第3行開始，中間的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字之和，展開式的項(xiàng)數(shù)比它的指數(shù)多1．根據(jù)上面觀察的規(guī)律很容易解答問題；
②根據(jù)（a+b）³=（a+b）²•（a+b）利用完全平方公式和多項(xiàng)式的乘法公式即可求解；
③每一行的數(shù)字的和分別是：1，2，4，8，16…；則第m行的數(shù)字和是2 ^m-1；
a^n-2b²項(xiàng)的系數(shù)是：1+2+3+…+（n-1），求解即可．

解答：解：①（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
②（a+b）³=（a+b）²•（a+b）
=（a²+2ab+b²）（a+b）
=a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³
=a³+2a²b+3ab²+b³；
③將每一行的數(shù)字相加，則得數(shù)字串：1，2，4，8，16…則第m行的數(shù)字和是2 ^m-1；
a^n-2b²的系數(shù)是：1+2+3+…+（n-1）
=【（n-1）+1】•

n-1

2

=

1

2

n²-

1

2

n．
故答案是：1，2，4，8，16…；2 ^m-1

點(diǎn)評：本題考查了乘法公式，正確觀察已知的式子與對應(yīng)的三角形之間的關(guān)系是關(guān)鍵．