Question

已知拋物線y=ax2+x+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸相交于點C，該拋物線的頂點為點M，對稱軸與BC相交于點N，與x軸交于點D．

（1）求該拋物線的解析式及點M的坐標；

（2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；

（3）點E是該拋物線上一動點，且位于第一象限，當(dāng)點E到直線BC的距離為時，求點E的坐標；

（4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長EN交y軸于點F，E、F兩點關(guān)于直線BC對稱嗎？請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）拋物線為y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，頂點M（，）．

證明見解析

（3）E（1，2），

（4）對稱；理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法可求得解析式，然后轉(zhuǎn)化成頂點式即可得頂點坐標．

有兩組對應(yīng)邊對應(yīng)成比例且夾角相等即可知△ABC∽△NBO，由三角形相似的性質(zhì)即可求得．

作EF⊥BC于F，根據(jù)拋物線的解析式先設(shè)出E點的坐標，然后根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求得F點的坐標，根據(jù)勾股定理即可求得．

（4）延長EF交y軸于Q，根據(jù)勾股定理求得FQ的長，再與EF比較即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+x+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，

∴，

解得．

∴拋物線為y=﹣x2+x+2；

∴拋物線為y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點M（，）．

如圖1，

∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），

∴直線BC為：y=﹣x+2，

當(dāng)x=時，y=，

∴N（，），

∴AB=3，BC=2，OB=2，BN=，

∴，，

∵∠ABC=∠NBO，

∴△ABC∽△NBO，

∴∠NOB=∠ACB；

（3）如圖2，作EF⊥BC于F，

∵直線BC為y=﹣x+2，

∴設(shè)E（m，﹣m2+m+2），直線EF的解析式為y=x+b，

則直線EF為y=x+（﹣m2+2），

解 得，

∴F（m2，﹣m2+2），

∵EF=，

∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，

解得m=1，

∴﹣m2+m+2=2，

∴E（1，2），

（4）如圖2，延長EF交y軸于Q，

∵m=1，

∴直線EF為y=x+1，

∴Q（0，1），

∵F（，），

∴FQ=，

∵EF=，EF⊥BC，

∴E、F兩點關(guān)于直線BC對稱．

考點：1、待定系數(shù)法；2、拋物線的頂點；3、直線的交點問題；4、勾股定理