【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣12的圖象交x軸于A(﹣3,0),B(5,0)兩點,與y軸交于點C.點D是拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點D的橫坐標為m,并且當m≤x≤m+5時,對應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣m,求m的值;
(3)若點D在第四象限內(nèi),過點D作DE∥y軸交BC于E,DF⊥BC于F.線段EF的長度是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值及相應(yīng)點D的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣12;(2)m的值為﹣或0.(3)點D坐標為(,﹣11)時,線段EF長度的最大值為.
【解析】
(1)已知拋物線過點A、B,用待定系數(shù)法即可求其解析式.
(2)把二次函數(shù)配方求得頂點為(1,﹣),當x=1時,二次函數(shù)有最小值y=﹣.而在m≤x≤m+5范圍,函數(shù)值y對應(yīng)的最小值也為﹣,故x=1在m≤x≤m+5的范圍內(nèi),即m≤1≤m+5,解得﹣4≤m≤1.因為不確定x=m還是x=m+5時取得相應(yīng)的最大值,故需分類討論.若x=m離對稱軸較遠,則x=m時取得最大值﹣m,代入計算即求得m的值;若x=m+5離對稱軸距離較遠,則x=m+5時取得最大值,代入計算即求得m的值.
(3)由DE∥y軸可得∠DEF=∠BCO,點D與點E橫坐標相同.設(shè)點D橫坐標為d,用d表示點D縱坐標.求出直線BC解析式后,即能用d表示點E坐標,進而能用d表示DE的長度.由于DF⊥BC于E,所以cos∠DEF= .在Rt△BOC中易求cos∠BCO的值,由∠DEF=∠BCO得cos∠DEF=cos∠BCO,能用含d的二次式表示EF,配方即求得EF的最大值.
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣12的圖象過點A(﹣3,0),B(5,0)
∴ 解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣12
(2)∵y=x2﹣x﹣
∴當x=1時,二次函數(shù)有最小值y=﹣
∵當m≤x≤m+5時,對應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣≤y≤m
∴對稱軸:x=1在m≤x≤m+5的范圍內(nèi),即m≤1≤m+5
解得:﹣4≤m≤1
取點(m,0)與點(m+5,0)的中點M(m+)
①當m+≤1時,即﹣4≤m≤﹣,點M在對稱軸左側(cè)
∴x=m到對稱軸的距離比x=m+5到對稱軸的距離遠
∴x=m時,y取得最大值
∴m2﹣m﹣12=﹣m
解得:m1=(舍去),m2=﹣
②當m+>1時,即﹣<m≤1,點M在對稱軸右側(cè)
∴x=m+5到對稱軸的距離比x=m到對稱軸的距離遠
∴x=m+5時,y取得最大值
∴(m+5)2﹣(m+5)﹣12=﹣m
解得:m1=﹣10(舍去),m2=0
綜上所述,m的值為﹣或0.
(3)∵當x=0時,y=x2﹣x﹣12=﹣12
∴C(0,﹣12)
∵B(5,0),∠BOC=90°
∴直線BC:y=x﹣12,BC=
∴Rt△BOC中,cos∠BCO=
∵DE∥y軸
∴∠DEF=∠BCO,xE=xD
設(shè)D(d,d2﹣d﹣12)(0<d<5),則E(d,d﹣12)
∴DE=d﹣12﹣(d2﹣d﹣12)=﹣d2+4d=﹣(d﹣)2+5
∵DF⊥BC
∴∠DFE=90°
∴cos∠DEF==cos∠BCO=
∴EF=DE=﹣(d﹣)2+
∴當d=時,EF最大值為
此時,yD=×()2﹣×﹣12=﹣11
∴點D坐標為(,﹣11)時,線段EF長度的最大值為.
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【題目】為了提升干線公路美化度,相關(guān)部門擬定派一個工程隊對39000米的公路進行路面“白改黑”工程.該工程隊計劃使用一大一小兩種型號設(shè)備交替的方式施工,原計劃小型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面30米,大型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面60米
(1)由于小型設(shè)備工作效率較低,該工程隊計劃使用大型設(shè)備的時間比使用小型設(shè)備的時間多,當這個工程完工時,小型設(shè)備的使用時間至少為多少小時?
(2)通過勘察、又新增了部分支線公路美化,結(jié)果此工程的實際施工里程比最初擬定的最少里程39000米多了9000米,于是在實際施工中,小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下,使用時間比(1)中的最小值多,同時,因為工人操作大型設(shè)備不夠熟練,使得大型設(shè)備鋪設(shè)公路的效率比原計劃下降了,使用時間比(1)中大型設(shè)備使用的最短時間多,求的值.
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【題目】“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”,某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”,經(jīng)選拔后有名學(xué)生參加決賽,這名學(xué)生同時默寫首古詩詞,若每正確默寫出一首古詩詞得分,根據(jù)測試成績繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如下:
組別 | 成績分 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第組 | ||
第組 | ||
第組 | ||
第組 | ||
第組 |
請結(jié)合圖表完成下列各題: :
(1)①求表中的值;
②頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(2)若測試成績不低于分為優(yōu)秀,則本次測試的優(yōu)秀率是多少?
(3)第組名同學(xué)中,有名男同學(xué),現(xiàn)將這名同學(xué)平均分成兩組進行對抗賽,且名男同學(xué)每組分兩人,求其中小華和小強兩名男同學(xué)能分在同一組的概率.
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【題目】如圖,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,將此等腰三角形紙片沿底邊BC上的高AD剪成兩個全等的三角形,用這兩個三角形拼成一個平行四邊形,則所拼出的所有平行四邊形中最長的對角線的長是_____.
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【題目】如圖,某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿MN方向水平飛行進行航拍作業(yè),MN與AB在同一鉛直平面內(nèi),當無人機飛行至C處時、測得景點A的俯角為45°,景點B的俯角為30°,此時C到地面的距離CD為100米,則兩景點A、B間的距離為__米(結(jié)果保留根號).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù)且k≠0)的圖象交于A(﹣1,a),B兩點,與x軸交于點C.
(1)求a,k的值及點B的坐標;
(2)若點P在x軸上,且S△ACP=S△BOC,直接寫出點P的坐標.
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【題目】拋物線的對稱軸為直線.若關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有實數(shù)根,則的取值范圍是_____________.
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【題目】某校數(shù)學(xué)課外實踐小組一次活動中,測量一座樓房的高度.如圖,在山坡坡腳A處測得這座樓房的樓頂B點的仰角為60°,沿山坡往上走到C處再測得B點的仰角為45°,已知山坡的坡比i=1:,OA=200m,且O、A、D在同一條直線上.
(1)求樓房OB的高度;
(2)求山坡上AC的距離(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AC是圓O的直徑,過點A的切線與CD的延長線相交于點P.且∠APC=∠BCP.
(1)求證:∠BAC=2∠ACD.
(2)過圖1中的點D作DE⊥AC于E,交BC于G(如圖2),BG:GE=3:5,OE=5,求⊙O的半徑.
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