Question

）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點D．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

 

考點： 切線的判定；扇形面積的計算． 

專題： 幾何綜合題；壓軸題．

分析： （1）由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；

（2）解：由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得CD=OD=2，然后利用陰影部分的面積=S_△COD﹣S_扇形DOE

和扇形的面積公式求解．

解答： （1）證明：∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切線；

 

（2）解：∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴CD=OD=2，

∴陰影部分的面積=S_△COD﹣S_扇形DOE

=×2×2﹣

=2﹣．

點評： 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了扇形面積的計算．