Question

兩個(gè)大小不同的等邊△ABC和等邊△DEC如圖擺放，連接AE、BD，M、N、P、Q分別為線段AB、BD、ED、AE的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形MNPQ的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）將上圖中的等邊△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（60°＜α＜360°）時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，畫(huà)出一種情形，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等邊三角形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，然后求出AD=BE，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MN=PQ=

1

2

AD，MQ=NP=

1

2

BE，從而得到MN=NP=PQ=MQ，然后判斷出四邊形MNPQ是菱形；
（2）作出圖形，連接AD、BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=BE，再同（1）證明即可．

解答：（1）解：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∴AD=BE，
∵M(jìn)、N、P、Q分別為線段AB、BD、ED、AE的中點(diǎn)，
∴MN=PQ=

1

2

AD，MQ=NP=

1

2

BE，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四邊形MNPQ是菱形；

（2）如圖，連接AD、BE，
∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵M(jìn)、N、P、Q分別為線段AB、BD、ED、AE的中點(diǎn)，
∴MN=PQ=

1

2

AD，MQ=NP=

1

2

BE，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四邊形MNPQ是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，菱形的判定，熟記定理是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．