Question

已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，且AO，BO的邊長分別是方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的兩根．
（1）求m的值；
（2）求菱形內切圓的面積．

Answer 1

考點：菱形的性質,根與系數(shù)的關系,三角形的內切圓與內心

專題：

分析：（1）由菱形的性質可知AO²+BO²=5²，再結合一元二次方程根與系數(shù)的關系可得到關于m的方程，可求得m的值；
（2）由（1）可求得AO、BO，在Rt△ABO中可求得O到AB的距離，即內切圓的半徑，可求得內切圓的面積．

解答：解：
（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，AO=

1

2

AC，BO=

1

2

BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AO²+BO²=AB²=5²=25，
又AO，BO的邊長分別是方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的兩根，
∴AO+BO=2m-1，AO•BO=4（m-1），
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO=（2m-1）²-8（m-1）=4m²-12m+9=25，
整理可得m²-3m-4=0，解得m=4或m=-1，
當m=-1時，4（m-1）=-8＜0，不合題意，舍去，
∴m=4；
（2）由（1）可知方程為：x²-7x+12=0，
解得x=3或x=4，
∴AO、BO一個長度為3，一個為4，
設菱形內切圓的半徑為r，即O點到AB的距離，
在Rt△AOB中，由面積相等可得AB•r=AO•BO，
∴r=

12

5

，
∴S_內切圓=πr²=

144π

25

．

點評：本題主要考查菱形的性質和一元二次方程根與系數(shù)的關系，在（1）中利用根與系數(shù)的關系借助菱形的對角線互相垂直且平分得到關于m的方程是解題的關鍵，在（2）中確定出內切圓的半徑是解題的關鍵．