Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+b與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C（m，0）在線段OA上，將線段CB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．

（1）求m和b的數(shù)量關(guān)系；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B′C′D′，當(dāng)直線B′C′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)及△BCD平移的距離；

（3）在（2）的條件下，直線AB上是否存在一點(diǎn)P，以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，寫(xiě)出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=3m；（2）個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）P(0,3)或（2，2）

【解析】

（1）易證△BOC≌△CED，可得BO=CE=b，DE=OC=m，可得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入解析式可求m和b的數(shù)量關(guān)系；
（2）首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線B′C′的解析式，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情況討論，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)P坐標(biāo)．

解：（1）直線y＝﹣x+b中，x＝0時(shí)，y＝b，

所以，B（0，b），又C（m，0），

所以，OB＝b，OC＝m，

在和中

∴點(diǎn)

（2）∵m=1，

∴b=3，點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)D（4，1）

∴直線AB解析式為：

設(shè)直線BC解析式為：y=ax+3，且過(guò)（1，0）

∴0=a+3

∴a=-3

∴直線BC的解析式為y=-3x+3，

設(shè)直線B′C′的解析式為y=-3x+c，把D（4，1）代入得到c=13，

∴直線B′C′的解析式為y=-3x+13，

當(dāng)y=3時(shí)，

當(dāng)y=0時(shí)，

∴△BCD平移的距離是個(gè)單位．
（3）當(dāng)∠PCD=90°，PC=CD時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
∴點(diǎn)P（0，3）
如圖，當(dāng)∠CPD=90°，PC=PD時(shí)，

∵BC=CD，∠BCD=90°，∠CPD=90°
∴BP=PD
∴點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，且點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)D（4，1）
∴點(diǎn)P（2，2）
綜上所述，點(diǎn)P為（0，3）或（2，2）時(shí)，以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．