Question

如圖,拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，點A的坐標為(2，0)，點C的坐標為(0，3)，它的對稱軸是直線x=-.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求M點的坐標.

Answer 1

(1)依題意，設拋物線的解析式為y=a(x+)²+k.

由A(2，0)，C(0，3)得

解得

∴拋物線的解析式為y=-(x+)²+.

(2)當y=0時，有-(x+)²+=0.

解得x₁=2，x₂=-3.∴B(-3,0).

∵△MBC為等腰三角形，則

①當BC=CM時，M在線段BA的延長線上，不符合題意.即此時點M不存在；

②當CM=BM時，∵M在線段AB上，

∴M點在原點O上.即M點坐標為(0,0)；

③當BC=BM時，在Rt△BOC中,BO=CO=3,

由勾股定理得BC==3，

∴BM=3.

∴M點坐標為(3-3,0).

綜上所述，M點的坐標為(0,0)或(3-3,0).