Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若向下平移拋物線，使頂點(diǎn)落在軸上，原來(lái)的拋物線上的點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積是面積的一半？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．

【解析】

（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入直線中求出m，n值，可得A（2，0），B（-2，-4），代入求出a，b的值，可得拋物線解析式，通過配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）先求出圖象向下平移的距離，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，軸可得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，列出方程求解即可；

（3）首先求出直線y=x-2與y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，得O是CE的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，易證要使的面積是面積的一半，則點(diǎn)在過點(diǎn)且平行于直線的直線上.因此，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，聯(lián)立方程組求解即可；同理，在直線AB的下方也存在兩點(diǎn)，方法同上.

將點(diǎn)代入直線中，

得.

點(diǎn)的坐標(biāo)為

將點(diǎn)代入直線，

得.

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

把點(diǎn)代入拋物線中，

得

解得

拋物線的解析式為.

.

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

向下平移后點(diǎn)落在軸上.

拋物線向下平移了個(gè)單位長(zhǎng)度，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為

，且軸.

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱

，

即

點(diǎn)的坐標(biāo)為

存在，設(shè)直線與軸交于點(diǎn).

將代入中，

得.

點(diǎn)的坐標(biāo)為

將代入中，

得

點(diǎn)的坐標(biāo)為

即點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如解圖所示.

∵OC=2，OA=2，

∴CA=

∵OE=2

∴AE=，CE=4

∵

∴CA2+AE2=OE2

∴

且

要使的面積是面積的一半，

則點(diǎn)在過點(diǎn)且平行于直線的直線上.

點(diǎn)在拋物線上，

點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn).

過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，如解圖所示，

易得直線的解析式為.

聯(lián)立

得，

解得

作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，如解圖所示，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

易得直線的解析式為.

同理，可知

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．