Question

如圖，A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，C（0，-2），D（-3，-2）．
（1）求△BCD的面積；
（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分線交CO于P，交CA于Q，判斷∠CPQ與∠CQP的大小關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論．
（3）若∠ADC=∠DAC，點(diǎn)B在x軸正半軸上任意運(yùn)動(dòng)，∠ACB的平分線CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠E與∠ABC的比值是否變化？若不變，求出其值；若變化，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,三角形的外角性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABQ=∠CBQ，然后根據(jù)等角的余角相等解答；
（3）在△AOE和△BOC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD∥x軸，
∴△BCD的面積=

1

2

×3×2=3；
（2）∵BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠CQP=∠CPQ；
（3）在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠E與∠ABC的比值不變．理由如下：
在△AOE和△BOC中，∠E+∠EAO+∠AOE=180°，
∠ABC+∠BCO+∠BOC=180°，
∵CD∥x軸，
∴∠EAO=∠ADC，
又∵∠AOE=∠BOC（對(duì)頂角相等），
∴∠E+∠EAO=∠ABC+∠BCO，
∴

∠E

∠ABC

=

1

2

．
即在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠E與∠ABC的比值不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，綜合題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．