Question

【題目】已知：拋物線y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（m0）交x軸于A、B兩點(diǎn)（其中A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．

（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），則B點(diǎn)坐標(biāo)為　 ．

（2）如圖1，在 （1）的條件下，且am＝1，設(shè)點(diǎn)M在y軸上且滿足∠OCA+∠AMO＝∠ABC，試求點(diǎn)M坐標(biāo)．

（3）如圖2，在y軸上有一點(diǎn)P（0，n）（點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方），直線PA、PB分別交拋物線于點(diǎn)E、F，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）滿足要求的M點(diǎn)的坐標(biāo)有（0，﹣2）、（0，2）；（3）．

【解析】

（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出m的值，然后可將拋物線解析式寫成交點(diǎn)式即可知道B點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）先考慮M在y軸負(fù)半軸的情況，在y軸負(fù)半軸上截取OG=OA=1，連AG，可證△GMA∽△GAC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，由對稱性可直接寫出另一種情況．

（3）作EG⊥x軸于點(diǎn)G，FH⊥y軸于點(diǎn)H，由△EAG∽PAO得到線段比例等式推出OP的長度，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，算出直線PB解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可求出F點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由△PFH∽△PBO即可得到所求線段比．

（1）將（﹣1，0）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）得：1+2m﹣3m2＝0，

解得：m＝1或m＝﹣（舍），

∴y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝a（x+1）（x﹣3），

∴B（3，0）．

故答案為：（3，0）．

（2）當(dāng)am＝1，時(shí)，拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3）

∴OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，

如圖1，M在y軸負(fù)半軸上，在y軸負(fù)半軸上截取OG＝OA＝1，連AG，

則∠AGO＝45°＝∠ABC，AG＝，

∠OCA+∠AMO＝∠ABC，

∴∠OCA+∠AMO＝45°，

又∵∠OCA+∠GAC＝∠AGO＝45°，

∴∠AMG＝∠GAC，

又∵∠AGM＝∠CGA，

∴△GMA∽△GAC，

∴AG2＝MGGC，

GC＝OC﹣OG＝2，設(shè)M（0，a）

∴2＝（﹣1﹣a）2，

∴a＝﹣2，

∴M的坐標(biāo)為（0，﹣2）．

根據(jù)對稱性可知（0，2）也符合要求．

綜上所述，滿足要求的M點(diǎn)的坐標(biāo)有：（0，﹣2）、（0，2）．

（3）由拋物線解析式可得：A（﹣m，0），B3m，0）．

∵，

∴，

如圖2，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，FH⊥y軸于點(diǎn)H，

則軸，軸，

△EAG∽PAO，△PFH∽△PBO，

∴，

∴AG＝AO＝m，OP＝2EG，

∴xE＝﹣m，yE＝am2，即EG＝am2，

∴OP＝am2，

∴P（0，﹣am2），

又∵B（3m，0），

∴直線PB的解析式為：y＝amx﹣am2，

∴amx﹣am2＝a（x2﹣2mx﹣3m2），

∴2x2﹣7mx+3m2＝0，

∴x1＝3m（舍），x2＝m，

∴FH＝m，

△PFH∽△PBO，

∴．